Resolva o PVI
, em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial, onde precisamos encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação
com a condição inicial $ y(0) = 0 $. O que isso significa? Que queremos saber como $ y $ varia com $ x $, sabendo que em $ x = 0 $, $ y $ é zero. A função $ f(x) $ é dada de forma diferente dependendo do valor de $ x $, então vamos precisar resolver a equação em partes diferentes de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por $ 1 + x^2 $ para deixar a equação na forma padrão:
Aqui, a equação está na forma linear $ y’ + P(x) y = Q(x) $, onde $ P(x) = \frac{2x}{1 + x^2} $ e $ Q(x) = \frac{f(x)}{1 + x^2} $.
Passo 3
Para resolver essa equação linear, a gente usa o método do fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = 1 + x^2 $:
Isso simplifica a equação para:
Integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 5
Agora, vamos considerar os dois casos para $ f(x) $:
Caso 1: $ 0 \leq x < 1 $, $ f(x) = 3x $
A integral fica:
Então,
Resolvendo para $ y $:
Usamos a condição inicial $ y(0) = 0 $:
Portanto,
Caso 2: $ x \geq 1 $, $ f(x) = -x $
A integral fica:
Então,
Resolvendo para $ y $:
Passo 6
Precisamos garantir que $ y $ seja contínua em $ x = 1 $. Então, vamos calcular $ y $ no limite de $ x $ se aproximando de 1 pela esquerda e pela direita.
Do primeiro caso ($ x \to 1^- $):
Do segundo caso ($ x \to 1^+ $):
Resolvendo para $ C $:
Portanto, no segundo caso:
Resposta
A solução do PVI é: