Resolva o PVI f(x)= 3 x, & se 0 <= x<1 -x, & se x >= 1 , em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial, onde precisamos encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação y(x) com a condição inicial $ y(0) = 0 $. O que isso significa? Que queremos saber como $ y $ varia com $ x $, sabendo que em $ x = 0 $, $ y $ é zero. A função $ f(x) $ é dada de forma diferente dependendo do valor de $ x $, então vamos precisar resolver a equação em partes diferentes de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução. Dividimos ambos os lados por $ 1 + x^2 $ para deixar a equação na forma padrão:
1 + x^2
Aqui, a equação está na forma linear $ y’ + P(x) y = Q(x) $, onde $ P(x) = \frac{2x}{1 + x^2} $ e $ Q(x) = \frac{f(x)}{1 + x^2} $.

Passo 3

Para resolver essa equação linear, a gente usa o método do fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Vamos calcular essa integral:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 2x1 + x^2 dx
Então,
integral 2x1 + x^2 dx = ln(1 + x^2) + C

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(x) = 1 + x^2 $:
mu(x) = 1 + x^2
Isso simplifica a equação para:
(1 + x^2) y' + 2x y = f(x)
Integrar ambos os lados em relação a $ x $:
ddx [y (1 + x^2)] = f(x)

Passo 5

Agora, vamos considerar os dois casos para $ f(x) $:
Caso 1: $ 0 \leq x < 1 $, $ f(x) = 3x $
A integral fica:
f(x)
Então,
0 <= x < 1
Resolvendo para $ y $:
f(x) = 3x
Usamos a condição inicial $ y(0) = 0 $:
integral 3x dx = 32 x^2 + C
Portanto,
y (1 + x^2) = 32 x^2 + C
Caso 2: $ x \geq 1 $, $ f(x) = -x $
A integral fica:
y
Então,
y = 32 x^2 + C1 + x^2
Resolvendo para $ y $:
y(0) = 0

Passo 6

Precisamos garantir que $ y $ seja contínua em $ x = 1 $. Então, vamos calcular $ y $ no limite de $ x $ se aproximando de 1 pela esquerda e pela direita.
Do primeiro caso ($ x \to 1^- $):
y
Do segundo caso ($ x \to 1^+ $):
x = 1
Resolvendo para $ C $:
y
Portanto, no segundo caso:
x

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 3x^22(1 + x^2), & 0 <= x < 1, [10px] -12x^2 + 21 + x^2, & x >= 1

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