Considere as equações:
Mostre que se
é solução da equação
e
é solução da equação
, então
é solução de
, para qualquer constante
.
Passo 1
Estamos lidando com equações lineares de primeira ordem. A forma geral é
. A equação (*) é a homogênea
enquanto a equação (**) é a não-homogênea
Saberemos que a superposição de uma solução particular com uma solução da homogênea dá a solução geral da não-homogênea.
Passo 2
Vamos testar a função
na equação não-homogênea. Para isso, aplicamos o operador linear
Passo 3
Usando linearidade do operador derivada e da multiplicação por função, temos
Passo 4
Agrupando termos semelhantes, obtemos
$$L[y]=c\bigl(y_{1}’+p(t)y_{1}\bigr)+\bigl(y_{2}’+p(t)y_{2}\bigr).
$$
Mas
satisfaz a homogênea, logo
, e
satisfaz a não-homogênea, logo
.
Passo 5
Substituindo essas igualdades em
, vem
$$L[y]=c\cdot0+g(t)=g(t).
$$
Portanto
satisfaz
para qualquer constante
.
Resposta
A combinação
é solução da equação não-homogênea
para qualquer constante
.