Considere as equações:
d yd t+p(t) y=g(t)
Mostre que se é solução da equação e é solução da equação , então é solução de , para qualquer constante .

Passo 1

Estamos lidando com equações lineares de primeira ordem. A forma geral é dydt+p(t)y=g(t). A equação (*) é a homogênea
dydt+p(t)y=0,
enquanto a equação (**) é a não-homogênea
dydt+p(t)y=g(t)
Saberemos que a superposição de uma solução particular com uma solução da homogênea dá a solução geral da não-homogênea.

Passo 2

Vamos testar a função
y(t)=c,y1(t)+y2(t)
na equação não-homogênea. Para isso, aplicamos o operador linear
L[y]=dydt+p(t)y

Passo 3

Usando linearidade do operador derivada e da multiplicação por função, temos
L[y]=ddtl(cy1+y2r)+p(t)l(cy1+y2r) =cdy1dt+dy2dt+cp(t)y1+p(t)y2

Passo 4

Agrupando termos semelhantes, obtemos
$$L[y]=c\bigl(y_{1}’+p(t)y_{1}\bigr)+\bigl(y_{2}’+p(t)y_{2}\bigr).
$$
Mas L[y]=cl(y1'+p(t)y1r)+l(y2'+p(t)y2r) satisfaz a homogênea, logo y1(t), e y1'+p(t)y1=0 satisfaz a não-homogênea, logo y2(t).

Passo 5

Substituindo essas igualdades em L[y], vem
$$L[y]=c\cdot0+g(t)=g(t).
$$
Portanto L[y]=ccdot0+g(t)=g(t) satisfaz y(t)=c,y1(t)+y2(t) para qualquer constante dydt+p(t)y=g(t).

Resposta

A combinação y(t)=c,y1(t)+y2(t) é solução da equação não-homogênea dydt+p(t)y=g(t) para qualquer constante c.

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