Determine o valor de a para que a função f seja contínua em \mathbb{R}, justificando sua resposta. f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\lfloor x+a\rfloor & \text { se } & x<1 \\\\ 2 x^{2}-1 & \text { se } & x \geq 1\end{array}\right.
e pede: determinar o(s) valor(es) de a para que f seja contínua em \mathbb{R}, justificando.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A parte à esquerda de x=1 é x\mapsto \lfloor x+a\rfloor (função piso deslocada por a).
A parte à direita (e no ponto) é x\mapsto 2x^{2}-1.
Para f ser contínua em \mathbb{R} é preciso que seja contínua em todo x\in(-\infty,1), em x=1 e em todo x>1.]
Passo 2
Relembrando propriedades e definições importantes (aqui explico passo a passo):
Definição de continuidade num ponto x_{0}: f é contínua em x_{0} se \lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}). Isso exige que existam os limites laterais e coincidam com o valor da função.
Propriedade básica da função piso \lfloor y\rfloor: é uma função que para y\in\mathbb{R} retorna o maior inteiro \le y. Ela é constante em cada intervalo [k,k+1) (com k\in\mathbb{Z}), e tem saltos de tamanho 1 nos pontos y\in\mathbb{Z}. Mais precisamente, se m\in\mathbb{Z} então \lim_{y\to m^{-}}\lfloor y\rfloor = m-1 e \lim_{y\to m^{+}}\lfloor y\rfloor = m,
logo \lfloor y\rfloor é descontínua em cada y\in\mathbb{Z} e contínua em todo y\notin\mathbb{Z}.
Passo 3
Localizando as possíveis descontinuidades da parte \lfloor x+a\rfloor:
A aplicação x\mapsto \lfloor x+a\rfloor tem descontinuidades exatamente nos pontos x tais que x+a\in\mathbb{Z}. Escrevendo k\in\mathbb{Z}, esses pontos são x=k-a.
Note que o conjunto \{k-a : k\in\mathbb{Z}\} é infinito e não é limitado abaixo nem acima (é a reta inteira deslocada por -a). Em particular, há muitos valores k-a menores que 1.
Formalmente: escolha qualquer inteiro k tal que k<1+a. Como os inteiros são ilimitados para -\infty, tal k sempre existe. Defina x_{0}=k-a. Então x_{0}<1 e x_{0}+a=k\in\mathbb{Z}, portanto x_{0} é um ponto de descontinuidade da função x\mapsto \lfloor x+a\rfloor.
Em x_{0} os limites laterais da parte piso são diferentes: \lim_{x\to x_{0}^{-}}\lfloor x+a\rfloor = k-1 e \lim_{x\to x_{0}^{+}}\lfloor x+a\rfloor = k. Assim há um salto de tamanho 1 em x_{0}.
Passo 4
Conclusão sobre continuidade em todo (-\infty,1):
Pelo passo anterior, para qualquer a\in\mathbb{R} existem pontos x_{0}<1 onde \lfloor x+a\rfloor é descontínua. Como a definição de f usa exatamente \lfloor x+a\rfloor em todo o intervalo x<1, segue que para qualquer a a função f terá descontinuidades em alguns pontos de (-\infty,1).
Portanto não existe a\in\mathbb{R} que torne f contínua em todo (-\infty,1), logo não existe a que torne f contínua em \mathbb{R} (pois continuidade em \mathbb{R} exigiria continuidade também em (-\infty,1)).
Passo 5
Comentário adicional (opcional, para ver a situação em x=1\)): mesmo que se quisesse apenas ajustar \(a\) para que \(f\) seja contínua em \(x=1\), isso é possível para alguns \(a\). De fato \(f(1)=2\cdot1^{2}-1=1\) e o limite pela esquerda é \(\lim_{x\to1^{-}}\lfloor x+a\rfloor=\)
\(\begin{cases}\lfloor 1+a\rfloor & \text{se }1+a\notin\mathbb{Z},\\[2pt] a & \text{se }1+a\in\mathbb{Z}.\end{cases}
Dessa forma os a que garantem continuidade em x=1 são 0\le a\le 1. Mas isso não resolve as descontinuidades já observadas em (-\infty,1), então mesmo esses a não tornam f contínua em \mathbb{R}.]
Resposta
Não existe nenhum a\in\mathbb{R} tal que f seja contínua em \mathbb{R}.