Determine o valor de a para que a função f seja contínua em \mathbb{R}, justificando sua resposta.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{|x+3|}{a x+3 a} & \text { se } & x<-3 \\\ a^{2}-5 & \text { se } & x \geq-3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o(s) valor(es) de a\) tal que a função \(f\) seja contínua em \(\mathbb{R}\). A função é dada por partes: \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{|x+3|}{a x+3 a}, & \text{se } x<-3,\\[6pt] \displaystyle a^{2}-5, & \text{se } x\geq-3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A função tem duas expressões dependendo do sinal de x+3\]: uma para \(x<-3 e outra para x\geq-3.
  • Deve-se obter os valores de a para que f seja contínua em todo \mathbb{R}, ou seja, em todos os pontos, inclusive no ponto de junção x=-3.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar a expressão do ramo para x<-3. Note que para x<-3 temos x+3<0, então a definição do valor absoluto é
|x+3| = -(x+3)\qquad\text{quando }x<-3.
Substituindo na expressão do ramo esquerdo:
\frac{|x+3|}{a x+3 a}=\frac{-(x+3)}{a(x+3)}.
Aqui usei a fatoração do denominador a x+3 a = a(x+3).

Passo 3

Analisar a simplificação: como x<-3 implica x+3\neq0, podemos simplificar o numerador e o fator (x+3) do denominador, desde que não cancelemos por 0. Após simplificar obtemos
\frac{-(x+3)}{a(x+3)} = -\frac{1}{a},
desde que a\neq0. Portanto, no ramo x<-3 a função é igual a uma constante:
f(x) = -\frac{1}{a}\qquad\text{para }x<-3,\\ \text{se }a\neq0.
Observação importante: se a=0 o denominador a(x+3) é identicamente zero e o ramo para x<-3 não está definido — então a=0 não pode dar continuidade em \mathbb{R}. Então já sabemos que é necessário ter a\neq0.

Passo 4

Agora observe o ramo direito: para x\geq-3 a função é a constante
f(x)=a^{2}-5.
Constantes são funções contínuas em todo lugar. Assim o único possível problema de continuidade é no ponto x=-3, a fronteira entre os ramos. Para que f seja contínua em \mathbb{R} é preciso ter continuidade em x=-3, isto é, o limite à esquerda em -3 deve ser igual ao valor da função em -3.

Passo 5

Calcular o limite pela esquerda em x=-3. Como vimos, para x<-3 a função vale -1/a (com a\neq0), portanto
\lim_{x\to-3^-}f(x) = -\frac{1}{a}.
O valor da função em x=-3 (que vem do ramo x\ge-3) é
f(-3)=a^{2}-5.
Condição de continuidade em x=-3:
\lim_{x\to-3^-}f(x)=f(-3)\quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{a}=a^{2}-5,
com a ressalva a\neq0.

Passo 6

Resolver a equação para a. Multiplicando ambos os lados por a (válido porque já excluímos a=0):
-1 = a(a^{2}-5) = a^{3}-5a.
Reorganizando:
a^{3}-5a+1=0.
Temos uma equação cúbica. Ela pode ter uma ou três raízes reais; aqui vamos identificar as raízes reais e verificar que não são 0.

Passo 7

Análise e aproximação das raízes de a^{3}-5a+1=0. Algumas observações úteis:
  • A função polinomial g(a)=a^{3}-5a+1 é contínua e g(0)=1>0.
  • Pelo teorema do valor intermediário podemos achar intervalos onde g muda de sinal e localizar raízes.
    Calculando alguns valores:
g(-3)=-27+15+1=-11<0,\quad g(-2)= -8+10+1=3>0,
logo existe uma raiz em (-3,-2).
g(0)=1>0,\quad g(1)=1-5+1=-3<0,
logo existe uma raiz em (0,1).
g(2)=8-10+1=-1<0,\quad g(3)=27-15+1=13>0,
logo existe uma raiz em (2,3).
Portanto há três raízes reais (uma em cada intervalo acima).

Passo 8

Aproximação numérica (método de bissecção/validação rápida): refinando os intervalos e avaliando g mais finamente obtém-se as aproximações das três raízes reais:
a\approx -2,330,\qquad a\approx 0,202,\qquad a\approx 2,129.
Verificação rápida: cada uma dessas aproximações torna g(a) muito próxima de 0 (substituindo nas expressões dá resíduo próximo de zero) e nenhuma delas é 0, portanto a multiplicação por a usada antes foi válida.

Passo 9

Conclusão: para a\neq0 os dois ramos são constantes e contínuos em suas respectivas regiões; a continuidade global em \mathbb{R} exige que a constante do ramo esquerdo iguale a constante do ramo direito em x=-3, o que levou à cúbica cuja solução são as três aproximações acima. O caso a=0 foi excluído pois torna o ramo esquerdo indefinido.

Resposta

a\approx -2,330
a\approx 0,202
a\approx 2,129

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