Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o(s) valor(es) de
Informações relevantes fornecidas:
- A função tem duas expressões dependendo do sinal de
e outra para
. - Deve-se obter os valores de
para que seja contínua em todo , ou seja, em todos os pontos, inclusive no ponto de junção .]
Passo 2
Primeiro passo técnico: verificar a expressão do ramo para
. Note que para
temos
, então a definição do valor absoluto é
Substituindo na expressão do ramo esquerdo:
Aqui usei a fatoração do denominador
.
Passo 3
Analisar a simplificação: como
implica
, podemos simplificar o numerador e o fator
do denominador, desde que não cancelemos por
. Após simplificar obtemos
desde que
. Portanto, no ramo
a função é igual a uma constante:
Observação importante: se
o denominador
é identicamente zero e o ramo para
não está definido — então
não pode dar continuidade em
. Então já sabemos que é necessário ter
.
Passo 4
Agora observe o ramo direito: para
a função é a constante
Constantes são funções contínuas em todo lugar. Assim o único possível problema de continuidade é no ponto
, a fronteira entre os ramos. Para que
seja contínua em
é preciso ter continuidade em
, isto é, o limite à esquerda em
deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 5
Calcular o limite pela esquerda em
. Como vimos, para
a função vale
(com
), portanto
O valor da função em
(que vem do ramo
) é
Condição de continuidade em
:
com a ressalva
.
Passo 6
Resolver a equação para
. Multiplicando ambos os lados por
(válido porque já excluímos
):
Reorganizando:
Temos uma equação cúbica. Ela pode ter uma ou três raízes reais; aqui vamos identificar as raízes reais e verificar que não são
.
Passo 7
Análise e aproximação das raízes de
. Algumas observações úteis:
- A função polinomial
é contínua e . - Pelo teorema do valor intermediário podemos achar intervalos onde
muda de sinal e localizar raízes.
Calculando alguns valores:
logo existe uma raiz em
.
logo existe uma raiz em
.
logo existe uma raiz em
.
Portanto há três raízes reais (uma em cada intervalo acima).
Portanto há três raízes reais (uma em cada intervalo acima).
Passo 8
Aproximação numérica (método de bissecção/validação rápida): refinando os intervalos e avaliando
mais finamente obtém-se as aproximações das três raízes reais:
Verificação rápida: cada uma dessas aproximações torna
muito próxima de
(substituindo nas expressões dá resíduo próximo de zero) e nenhuma delas é
, portanto a multiplicação por
usada antes foi válida.
Passo 9
Conclusão: para
os dois ramos são constantes e contínuos em suas respectivas regiões; a continuidade global em
exige que a constante do ramo esquerdo iguale a constante do ramo direito em
, o que levou à cúbica cuja solução são as três aproximações acima. O caso
foi excluído pois torna o ramo esquerdo indefinido.