Determine o valor de a para que a função f seja contínua em \mathbb{R}, justificando sua resposta.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}a|x-1|+2 & \text { se } & x<1 \\\ \lfloor x\rfloor+b & \text { se } & x \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se determine o valor de a\) para que a função \(f\) seja contínua em \(\mathbb{R}\). A função dada é \[f(x)=\begin{cases} a|x-1|+2 & \text{se } x<1,\\[4pt] \lfloor x\rfloor + b & \text{se } x\ge 1, \end{cases}
onde a\] e \(b são constantes (aqui a é o que queremos determinar). As perguntas implícitas que devemos responder:
  • Para quais pontos x podem surgir problemas de continuidade?
  • Existe algum valor de a que torne f contínua em todo \mathbb{R}?
Lista das informações relevantes fornecidas:
  • Para x<1 a função vale a|x-1|+2.
  • Para x\ge 1 a função vale \lfloor x\rfloor + b.
  • A função piso \lfloor x\rfloor é a parte inteira de x (por exemplo \lfloor 1,7\rfloor=1, \lfloor 2\rfloor=2).]

Passo 2

Relembrando a definição de continuidade num ponto (aula rápida e prática):
  • Dizemos que uma função f é contínua em c se e somente se \lim_{x\to c^-} f(x)=\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)}.
    Explicando as notações:
  • \lim_{x\to c^-} f(x) é o limite à esquerda (quando x se aproxima de c por valores menores que c).
  • \lim_{x\to c^+} f(x) é o limite à direita (quando x se aproxima de c por valores maiores que c).
    No caso de uma função definida por partes, normalmente os pontos potencialmente problemáticos são aqueles onde a definição muda de uma expressão para outra — aqui, o ponto óbvio é x=1 — e também pontos onde a expressão no mesmo ramo pode ter descontinuidades (por exemplo, a função piso tem descontinuidades nos inteiros).

Passo 3

Análise para x<1 (ramo a|x-1|+2):
  • A função |x-1| é contínua em todo \mathbb{R} porque é dada por duas retas: |x-1|=1-x para x\le 1 e |x-1|=x-1 para x\ge 1; cada ramo é linear, portanto contínuo, e coincidem em x=1.
  • Multiplicar por a e somar 2 preserva continuidade. Conclusão: o ramo a|x-1|+2 é contínuo para todo x<1, independentemente de a.

Passo 4

Análise para x\ge 1 (ramo \lfloor x\rfloor + b):
  • A função \lfloor x\rfloor é constante em cada intervalo do tipo [n,n+1) com n\in\mathbb{Z}; logo, em qualquer ponto interior de [n,n+1) (isto é, para x\in(n,n+1)) a função é contínua (na prática é constante ali).
  • Porém, nos pontos inteiros x=n a função piso tem salto: \lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n-1 enquanto \lfloor n\rfloor = n. Portanto \lfloor x\rfloor é descontínua à esquerda em cada inteiro n.
  • Para a função \lfloor x\rfloor + b, a mesma observação vale: em [n,n+1) é constante igual a n+b, e nos inteiros há possível salto entre o limite à esquerda e o valor no inteiro.

Passo 5

Verificação dos inteiros n\ge 2 (por que eles impedem continuidade em \mathbb{R}):
  • Tome um inteiro k\ge 2. Para x aproximando-se de k pela esquerda, como x\in[k-1,k) então \lfloor x\rfloor = k-1. Logo
\lim_{x\to k^-} f(x) = (k-1)+b.
  • O valor de f no ponto k (já que k\ge1) é
f(k)=\lfloor k\rfloor + b = k + b.
  • Para que f fosse contínua em k precisaríamos de (k-1)+b = k+b. Mas isso implica
k-1+b = k+b \quad\Longrightarrow\quad -1=0,
o que é impossível. Portanto, para qualquer escolha de a e b, a função tem descontinuidade em todo inteiro k\ge 2.
  • Conclusão importante: não existe escolha de constantes que elimine esses saltos nos inteiros k\ge 2; assim, é impossível que f seja contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 6

Verificação em x=1 (o ponto de troca entre as duas definições):
  • Limite pela esquerda: para x<1 temos |x-1|=1-x, então
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-}\bigl(a|x-1|+2\bigr)=a\cdot 0 + 2 = 2.
  • Valor no ponto 1: como 1\ge 1, f(1)=\lfloor 1\rfloor + b = 1 + b.
  • Para continuidade em x=1 seria necessário 2 = 1 + b, ou seja
b=1.
  • Observação: essa condição determina b (não a). Para x=1 o valor de a não entra na igualdade porque |x-1| tende a zero; então qualquer a deixa o limite à esquerda igual a 2.

Passo 7

Síntese e conclusão final (motivação e ânimo):
  • Mesmo que escolhamos b=1 para garantir continuidade em x=1, a existência dos saltos da função piso nos inteiros k\ge 2 impede que a função seja contínua em todos os reais, e isso independe do valor de a.
  • Portanto, não há qualquer valor de a (ou de b) que faça f ser contínua em todo \mathbb{R}. A melhor coisa que se pode fazer é escolher b=1 para tornar f contínua em x=1, mas ainda haverá descontinuidades em 2,3,4,\dots.

Resposta

Não existe valor de a que torne f contínua em \mathbb{R}.

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