Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede que se determine o valor de
onde
são constantes (aqui
é o que queremos determinar). As perguntas implícitas que devemos responder:
- Para quais pontos
podem surgir problemas de continuidade? - Existe algum valor de
que torne contínua em todo ?
Lista das informações relevantes fornecidas:
- Para
a função vale . - Para
a função vale . - A função piso
é a parte inteira de (por exemplo , ).]
Passo 2
Relembrando a definição de continuidade num ponto (aula rápida e prática):
- Dizemos que uma função
é contínua em se e somente se .
Explicando as notações: -
é o limite à esquerda (quando se aproxima de por valores menores que ). -
é o limite à direita (quando se aproxima de por valores maiores que ).
No caso de uma função definida por partes, normalmente os pontos potencialmente problemáticos são aqueles onde a definição muda de uma expressão para outra — aqui, o ponto óbvio é— e também pontos onde a expressão no mesmo ramo pode ter descontinuidades (por exemplo, a função piso tem descontinuidades nos inteiros).
Passo 3
Análise para
(ramo
):
- A função
é contínua em todo porque é dada por duas retas: para e para ; cada ramo é linear, portanto contínuo, e coincidem em . - Multiplicar por
e somar preserva continuidade. Conclusão: o ramo é contínuo para todo , independentemente de .
Passo 4
Análise para
(ramo
):
- A função
é constante em cada intervalo do tipo com ; logo, em qualquer ponto interior de (isto é, para ) a função é contínua (na prática é constante ali). - Porém, nos pontos inteiros
a função piso tem salto: enquanto . Portanto é descontínua à esquerda em cada inteiro . - Para a função
, a mesma observação vale: em é constante igual a , e nos inteiros há possível salto entre o limite à esquerda e o valor no inteiro.
Passo 5
Verificação dos inteiros
(por que eles impedem continuidade em
):
- Tome um inteiro
. Para aproximando-se de pela esquerda, como então . Logo
- O valor de
no ponto (já que ) é
- Para que
fosse contínua em precisaríamos de . Mas isso implica
o que é impossível. Portanto, para qualquer escolha de
e
, a função tem descontinuidade em todo inteiro
.
- Conclusão importante: não existe escolha de constantes que elimine esses saltos nos inteiros
; assim, é impossível que seja contínua em todo .
Passo 6
Verificação em
(o ponto de troca entre as duas definições):
- Limite pela esquerda: para
temos , então
- Valor no ponto
: como , . - Para continuidade em
seria necessário , ou seja
- Observação: essa condição determina
(não ). Para o valor de não entra na igualdade porque tende a zero; então qualquer deixa o limite à esquerda igual a .
Passo 7
Síntese e conclusão final (motivação e ânimo):
- Mesmo que escolhamos
para garantir continuidade em , a existência dos saltos da função piso nos inteiros impede que a função seja contínua em todos os reais, e isso independe do valor de . - Portanto, não há qualquer valor de
(ou de ) que faça ser contínua em todo . A melhor coisa que se pode fazer é escolher para tornar contínua em , mas ainda haverá descontinuidades em .
Resposta
Não existe valor de
que torne
contínua em
.