Para cada item a seguir, determine a lei de formação da função composta
e o conjunto de pontos em que ela é contínua:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar a lei de formação da função composta
. - Determinar o conjunto de pontos onde
é contínua.
As informações fornecidas são:
-
. -
.
Passo 2
Entendendo o que é a composta:
significa aplicar
em
e depois aplicar
ao resultado, isto é
Substituindo
dentro de
, obtemos a expressão inicial da composta:
Passo 3
Agora substituímos explicitamente
na expressão do passo anterior:
Simplificando o denominador,
Essa é a lei de formação simplificada da composta.
Passo 4
Determinar o domínio (onde a função está definida) é crucial para a continuidade: a função racional
só está definida quando o denominador é diferente de zero. Então impomos
Resolvendo,
Portanto o domínio de
é
.
Passo 5
Agora a continuidade. Vou recapitular dois fatos fundamentais (que valem sempre em prova):
- Qualquer polinômio é contínuo em todo
. Logo é contínua em todo . - Qualquer função racional
(polinômios ) é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero.
Além disso, existe a propriedade: a composição de funções contínuas é contínua nos pontos onde a composição está definida. Aqui
é contínua em todo ponto do seu domínio (isto é, em todo
tal que
) e
é contínua em todo
. A composta
será contínua nos
tais que
pertence ao domínio de
, isto é, tais que
.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso: exigir
é a mesma condição que já usamos para impedir o denominador zero:
Portanto
é contínua exatamente para todos os
do domínio, ou seja para todos
.
Passo 7
Comentário final prático para a prova (como eu faria passo a passo):
- Escreva
. - Substitua
em e simplifique para obter a lei explícita. - Ache onde a expressão fica indefinida (denominador zero, logaritmo de número não positivo, raiz de índice par de número negativo, conforme o caso).
- O conjunto de continuidade é o conjunto onde a função está definida, por ser composição de funções contínuas nos pontos válidos.
Se pedirem, verifique limites laterais nos pontos excluídos para mostrar a descontinuidade (aqui o valor tende a, logo não existe continuidade nesses pontos).
Resposta
Conjunto de continuidade: