Para cada item a seguir, determine a lei de formação da função composta (f \circ g)(x) e o conjunto de pontos em que ela é contínua:
f(x)=\frac{1}{x-2} e g(x)=x^{2}-3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar a lei de formação da função composta (f\circ g)(x).
  • Determinar o conjunto de pontos onde (f\circ g)(x) é contínua.
As informações fornecidas são:
  • f(x)=\dfrac{1}{x-2}.
  • g(x)=x^{2}-3.

Passo 2

Entendendo o que é a composta: (f\circ g)(x) significa aplicar g em x e depois aplicar f ao resultado, isto é
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Substituindo g(x) dentro de f, obtemos a expressão inicial da composta:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\,g(x)-2\,}.

Passo 3

Agora substituímos explicitamente g(x)=x^{2}-3 na expressão do passo anterior:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\,x^{2}-3-2\,}.
Simplificando o denominador,
(f\circ g)(x)=\frac{1}{\,x^{2}-5\,}.
Essa é a lei de formação simplificada da composta.

Passo 4

Determinar o domínio (onde a função está definida) é crucial para a continuidade: a função racional \dfrac{1}{x^{2}-5} só está definida quando o denominador é diferente de zero. Então impomos
x^{2}-5\neq0.
Resolvendo,
x^{2}\neq5 \quad\Longrightarrow\quad x\neq \pm\sqrt{5}.
Portanto o domínio de (f\circ g) é \mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt{5}\}.

Passo 5

Agora a continuidade. Vou recapitular dois fatos fundamentais (que valem sempre em prova):
  • Qualquer polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}. Logo g(x)=x^{2}-3 é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Qualquer função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} (polinômios P,Q) é contínua em todos os pontos onde o denominador Q(x) é diferente de zero.
Além disso, existe a propriedade: a composição de funções contínuas é contínua nos pontos onde a composição está definida. Aqui f é contínua em todo ponto do seu domínio (isto é, em todo x tal que x\neq2) e g é contínua em todo \mathbb{R}. A composta f\circ g será contínua nos x tais que g(x) pertence ao domínio de f, isto é, tais que g(x)\neq2.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso: exigir g(x)\neq2 é a mesma condição que já usamos para impedir o denominador zero:
g(x)\neq2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-3\neq2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\neq5 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq\pm\sqrt{5}.
Portanto (f\circ g)(x)=\dfrac{1}{x^{2}-5} é contínua exatamente para todos os x do domínio, ou seja para todos x\in\mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt{5}\}.

Passo 7

Comentário final prático para a prova (como eu faria passo a passo):
  1. Escreva (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  2. Substitua g(x) em f e simplifique para obter a lei explícita.
  3. Ache onde a expressão fica indefinida (denominador zero, logaritmo de número não positivo, raiz de índice par de número negativo, conforme o caso).
  4. O conjunto de continuidade é o conjunto onde a função está definida, por ser composição de funções contínuas nos pontos válidos.
    Se pedirem, verifique limites laterais nos pontos excluídos para mostrar a descontinuidade (aqui o valor tende a \pm\infty, logo não existe continuidade nesses pontos).

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{x^{2}-5}
Conjunto de continuidade: \mathbb{R}\setminus\{\pm\sqrt{5}\}

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