Determine o valor das integrais
b) integral-infty^+infty sinc^2(t) d t

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é calcular a integral imprópria
Isso é assunto de cálculo de integrais impróprias e funções especiais (a sinc).
Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber a definição de sinc(t) e como tratar o ponto integral-infty^+infty l[sinc(t)r]^2,dt .
  2. Usar que a função é par (simétrica).
  3. Conhecer a integral clássica .

Passo 2

Primeiro, definição de sinc:
Essa definição evita divisão por zero e garante continuidade.

Passo 3

Repare que é uma função par, ou seja, .
Numa integral de integral-infty^+inftysinc^2(t),dt =2integral0^inftysin^2 tt^2,dt a de uma função par, vale:

Passo 4

Agora precisamos achar
I=integral0^inftysin^2 tt^2,dt
Usamos a identidade trigonométrica
I =integral0^infty1t^2,1-cos(2t)2,dt =12integral0^infty1-cos(2t)t^2,dt .
Então

Passo 5

Fica então
integral0^infty1-cos(2t)t^2,dt
Faz a substituição integral0^infty1-cos x(x/2)^2,dx2 =2integral0^infty1-cos xx^2,dx :
integral0^infty1-cos(2t)t^2,dt =2cdotpi2=pi,
E é sabido (ou pode-se mostrar por partes) que
I=12cdotpi=pi2 .
Logo
integral-infty^inftysinc^2(t),dt =2I =2cdotpi2=pi
e por isso
Voltando à integral total:

Resposta

boxedpi

Exercícios relacionados