Determine o valor das integrais
b)
b)
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é calcular a integral imprópria
Isso é assunto de cálculo de integrais impróprias e funções especiais (a sinc).
Para resolver, a gente vai precisar:
Para resolver, a gente vai precisar:
- Saber a definição de sinc(t) e como tratar o ponto
. - Usar que a função é par (simétrica).
- Conhecer a integral clássica
.
Passo 2
Primeiro, definição de sinc:
Essa definição evita divisão por zero e garante continuidade.
Passo 3
Repare que é uma função par, ou seja, .
Numa integral de a
de uma função par, vale:
Numa integral de
Passo 4
Agora precisamos achar
Usamos a identidade trigonométrica
.
Então
Então
Passo 5
Fica então
Faz a substituição
:
E é sabido (ou pode-se mostrar por partes) que
.
Logo
Logo
e por isso
Voltando à integral total: