Determine o valor da integral definida
J=\int_{5}^{6} 8 \sqrt{(x-3)(x-5)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
J=\int_{5}^{6}8\sqrt{(x-3)(x-5)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é o tratamento de integrais que envolvem raiz quadrada de polinômio de segundo grau. Vamos usar manipulação algébrica para escrever o radicando numa forma padrão e depois aplicar uma substituição apropriada, recorrendo à primitiva de \sqrt{u^{2}-a^{2}}.

Passo 2

Reescrevemos o produto dentro da raiz completando quadrado. Observe que
(x-3)(x-5)=(x-4+1)(x-4-1)=(x-4)^{2}-1.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=x-4,\quad dx=du,
de modo que, quando x varia de 5 a 6, u varia de 1 a 2. Assim
J=8\int_{5}^{6}\sqrt{(x-4)^{2}-1}\,dx =8\int_{1}^{2}\sqrt{u^{2}-1}\,du.

Passo 4

Recordamos que uma primitiva de \sqrt{u^{2}-1} é
F(u)=\frac{1}{2}\Bigl(u\sqrt{u^{2}-1}-\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr)\Bigr)+C.

Passo 5

Aplicando essa primitiva em u=1 e u=2 e lembrando do fator 8, temos
J =8\Bigl[F(2)-F(1)\Bigr] =8\cdot\frac{1}{2}\Bigl[\;u\sqrt{u^{2}-1}-\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr)\Bigr]_{1}^{2}
=4\Bigl[u\sqrt{u^{2}-1}-\ln\bigl(u+\sqrt{u^{2}-1}\bigr)\Bigr]_{1}^{2}.

Passo 6

Calculando em u=2:
2\sqrt{2^{2}-1}=2\sqrt{3},\quad \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr),
e em u=1:
1\sqrt{1-1}=0,\quad \ln(1+0)=0.
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J =4\Bigl((2\sqrt{3}-\ln(2+\sqrt{3}))-(0-0)\Bigr) =4\bigl(2\sqrt{3}-\ln(2+\sqrt{3})\bigr) =8\sqrt{3}-4\ln(2+\sqrt{3}).

Resposta

J=8\sqrt{3}-4\ln(2+\sqrt{3})

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