Determine o valor da integral de linha do campo vetorial
sobre a curva
, interseção do parabolóide hiperbólico
com o cilindro
com orientação no sentido horário quando visto visto de cima.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Campo vetorial dado:
- Curva
: interseção do parabolóide com o cilindro . Portanto é uma curva fechada cuja projeção no plano é o círculo . - Orientação: sentido horário quando vista de cima (ou seja, vista do eixo
a quadrilha percorre o círculo no sentido horário).
O que se pede: calcular a integral de linha fechada
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática)?
- A integral é sobre uma curva fechada
que é a fronteira de uma superfície natural: a parte do parabolóide dentro do cilindro. Logo podemos usar o Teorema de Stokes, que relaciona integral de linha de um campo ao integral de superfície do rotacional. - Enunciando o Teorema de Stokes de forma simples: se
é uma superfície com fronteira e é uma normal orientada adequadamente, então
- Atenção à orientação: a orientação da curva
e a normal obedecem à regra da mão direita. O sentido anti-horário visto de cima corresponde à normal com componente positiva (para gráficos é a normal “para cima”). Aqui a orientação dada é horário visto de cima, ou seja, é a orientação oposta à usual; portanto ao usar a normal padrão “para cima” teremos que inserir um sinal negativo no integral de superfície.
Resumo do plano: calcular
, escolher
como a parte do parabolóide
sobre o disco
, obter
para o gráfico
, computar o produto escalar e integrar sobre o disco. Ajustar sinal por causa da orientação horário.
Passo 3
Calcular o rotacional
(aula rápida sobre rotacional):
- Para um campo
, o rotacional é dado por
-
No nosso caso:
-
então e . -
então e . -
então e .
-
-
Substituindo:
Explicação curta: o rotacional não é nulo (portanto
não é conservativo globalmente), então Stokes é apropriado.
Passo 4
Escolher a superfície
e obter
para
.
- Para uma superfície dada como gráfico
, um vetor normal orientado “para cima” vezes a área é
onde
é a área no plano
, e
,
. (Derivação: vem de
ser ortogonal ao plano tangente e ter componente
positiva.)
- No nosso caso
então -
, -
.
-
- Portanto a normal “para cima” vezes área é
Observação sobre orientação: a normal acima tem componente
positiva. Mas a orientação de
é horário vista de cima, que é a orientação contrária à que essa normal produz pela regra da mão direita. Logo devemos usar a normal oposta
quando aplicarmos Stokes. Em termos de integral, isso equivale a inserir um sinal negativo no integrando.
Passo 5
Calcular
e montar a integral sobre o disco
.
- Primeiro, com a normal “para cima”:
- Como a orientação dada é a oposta, o integrando efetivo será o negativo:
onde
é a normal coerente com a orientação horário de
.
- Pelo Teorema de Stokes:
Explicação: reduzimos a integral de linha sobre a curva 3D para uma integral dupla sobre o disco plano
porque a superfície é o gráfico do parabolóide acima desse disco.
Passo 6
Calcular a integral dupla em coordenadas polares (aula rápida sobre coordenadas polares).
- Em coordenadas polares
, tem-se e . - O disco
é . - Substituindo:
- Calcule a integral em
:
- Então
Explanação rápida: cada passo de integração foi feito sem calculadora; a parte angular deu
e a radial deu
, combinando com o fator
resulta em
.