Determine o valor da integral de linha do campo vetorial F(x, y, z)=\left(x^{2} y+\operatorname{sen} x\right) \mathrm{i}+\left(\frac{1}{3} x^{3}+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{j}+x y \mathrm{k} sobre a curva C, interseção do parabolóide hiperbólico z=y^{2}-x^{2} com o cilindro x^{2}+y^{2}=1 com orientação no sentido horário quando visto visto de cima.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campo vetorial dado:
F(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr)=(x^{2}y+\sin x,\;\tfrac{1}{3}x^{3}+\mathrm{e}^{y},\;xy).
  • Curva C: interseção do parabolóide z=y^{2}-x^{2} com o cilindro x^{2}+y^{2}=1. Portanto C é uma curva fechada cuja projeção no plano xy é o círculo \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\}.
  • Orientação: sentido horário quando vista de cima (ou seja, vista do eixo +z a quadrilha percorre o círculo no sentido horário).
O que se pede: calcular a integral de linha fechada
\oint_C F\cdot \mathrm{d}r.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática)?
  • A integral é sobre uma curva fechada C que é a fronteira de uma superfície natural: a parte do parabolóide z=y^{2}-x^{2} dentro do cilindro. Logo podemos usar o Teorema de Stokes, que relaciona integral de linha de um campo ao integral de superfície do rotacional.
  • Enunciando o Teorema de Stokes de forma simples: se S é uma superfície com fronteira \partial S=C e \mathbf{n} é uma normal orientada adequadamente, então
\oint_{C} F\cdot \mathrm{d}r=\iint_{S} (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}S.
  • Atenção à orientação: a orientação da curva C e a normal \mathbf{n} obedecem à regra da mão direita. O sentido anti-horário visto de cima corresponde à normal com componente z positiva (para gráficos z=f(x,y) é a normal “para cima”). Aqui a orientação dada é horário visto de cima, ou seja, é a orientação oposta à usual; portanto ao usar a normal padrão “para cima” teremos que inserir um sinal negativo no integral de superfície.
Resumo do plano: calcular \nabla\times F, escolher S como a parte do parabolóide z=y^{2}-x^{2} sobre o disco x^{2}+y^{2}\le1, obter \mathbf{n}\,\mathrm{d}S para o gráfico z=f(x,y), computar o produto escalar e integrar sobre o disco. Ajustar sinal por causa da orientação horário.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times F (aula rápida sobre rotacional):
  • Para um campo F=(P,Q,R), o rotacional é dado por
\nabla\times F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
  • No nosso caso:
    • P(x,y,z)=x^{2}y+\sin x então \dfrac{\partial P}{\partial y}=x^{2} e \dfrac{\partial P}{\partial z}=0.
    • Q(x,y,z)=\tfrac{1}{3}x^{3}+\mathrm{e}^{y} então \dfrac{\partial Q}{\partial x}=x^{2} e \dfrac{\partial Q}{\partial z}=0.
    • R(x,y,z)=xy então \dfrac{\partial R}{\partial x}=y e \dfrac{\partial R}{\partial y}=x.
  • Substituindo:
\nabla\times F=\bigl(x-0,\;0-y,\;x^{2}-x^{2}\bigr)=(x,\;-y,\;0).
Explicação curta: o rotacional não é nulo (portanto F não é conservativo globalmente), então Stokes é apropriado.

Passo 4

Escolher a superfície S e obter \mathbf{n}\,\mathrm{d}S para z=f(x,y)=y^{2}-x^{2}.
  • Para uma superfície dada como gráfico z=f(x,y), um vetor normal orientado “para cima” vezes a área é
\mathbf{n}\,\mathrm{d}S = \bigl(-f_x,\;-f_y,\;1\bigr)\,\mathrm{d}A,
onde \mathrm{d}A é a área no plano xy, e f_x=\partial f/\partial x, f_y=\partial f/\partial y. (Derivação: vem de (-\partial_x f,-\partial_y f,1) ser ortogonal ao plano tangente e ter componente z positiva.)
  • No nosso caso f(x,y)=y^{2}-x^{2} então
    • f_x=-2x,
    • f_y=2y.
  • Portanto a normal “para cima” vezes área é
\mathbf{n}_{\uparrow}\,\mathrm{d}S=(2x,\;-2y,\;1)\,\mathrm{d}A.
Observação sobre orientação: a normal acima tem componente z positiva. Mas a orientação de C é horário vista de cima, que é a orientação contrária à que essa normal produz pela regra da mão direita. Logo devemos usar a normal oposta \mathbf{n}=-\mathbf{n}_{\uparrow} quando aplicarmos Stokes. Em termos de integral, isso equivale a inserir um sinal negativo no integrando.

Passo 5

Calcular (\nabla\times F)\cdot \mathbf{n} e montar a integral sobre o disco D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
  • Primeiro, com a normal “para cima”:
(\nabla\times F)\cdot\mathbf{n}_{\uparrow}=(x,\;-y,\;0)\cdot(2x,\;-2y,\;1)=2x^{2}+2y^{2}+0=2(x^{2}+y^{2}).
  • Como a orientação dada é a oposta, o integrando efetivo será o negativo:
(\nabla\times F)\cdot\mathbf{n}=-2(x^{2}+y^{2}),
onde \mathbf{n} é a normal coerente com a orientação horário de C.
  • Pelo Teorema de Stokes:
\oint_C F\cdot\mathrm{d}r=\iint_{D} -2(x^{2}+y^{2})\,\mathrm{d}A.
Explicação: reduzimos a integral de linha sobre a curva 3D para uma integral dupla sobre o disco plano D porque a superfície é o gráfico do parabolóide acima desse disco.

Passo 6

Calcular a integral dupla em coordenadas polares (aula rápida sobre coordenadas polares).
  • Em coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, tem-se x^{2}+y^{2}=r^{2} e \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
  • O disco D é \{0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi\}.
  • Substituindo:
\oint_C F\cdot\mathrm{d}r=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} -2(r^{2})\; r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} -2 r^{3}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
  • Calcule a integral em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,\mathrm{d}r=\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
  • Então
\oint_C F\cdot\mathrm{d}r=\int_{0}^{2\pi} -2\cdot\frac{1}{4}\,\mathrm{d}\theta =\int_{0}^{2\pi} -\frac{1}{2}\,\mathrm{d}\theta =-\frac{1}{2}\cdot 2\pi = -\pi.
Explanação rápida: cada passo de integração foi feito sem calculadora; a parte angular deu 2\pi e a radial deu 1/4, combinando com o fator -2 resulta em -\pi.

Resposta

-\pi

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