Seja \mathbf{F}(x, y, z)=\left(2 x z+y^{2}+y z, 2 x y+3 y^{2}+x z, e^{z}+x^{2}+x y\right) um campo vetorial em \mathbb{R}^{3}.
(a) ( 2,00 ) Calcule o rot \mathbf{F} e mostre que \mathbf{F} é conservativo.
(b) (2,00) Encontre uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
(c) (1,00) Se \mathbf{F} é um campo de forças, ache o trabalho realizado por \mathbf{F} ao longo de qualquer curva C de (1,0,-1) até (0,-1, \pi).

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é solicitado.
Dados:
  • O campo vetorial \mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(2xz+y^{2}+yz,\;2xy+3y^{2}+xz,\;e^{z}+x^{2}+xy\bigr).
Vou chamar as componentes por P,Q,R, ou seja:
P(x,y,z)=2xz+y^{2}+yz, \qquad Q(x,y,z)=2xy+3y^{2}+xz, \qquad R(x,y,z)=e^{z}+x^{2}+xy.
Pedidos:
(a) Calcular \operatorname{rot}\mathbf{F} (ou seja, \nabla\times\mathbf{F}) e mostrar que \mathbf{F} é conservativo.
(b) Encontrar uma função potencial f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
(c) Se \mathbf{F} é um campo de forças, achar o trabalho realizado por \mathbf{F} ao longo de qualquer curva C que vá de (1,0,-1) até (0,-1,\pi).

Passo 2

Conceito e fórmula do rotacional (aula curtinha e direta).
  • O rotacional (ou curl) de um campo \mathbf{F}=(P,Q,R) é o vetor
\operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\bigr),
onde R_{y}=\dfrac{\partial R}{\partial y}, Q_{z}=\dfrac{\partial Q}{\partial z}, etc. Cada termo é uma derivada parcial simples.
Agora calculamos cada derivada parcial necessária para este campo (faço devagar para você copiar na prova sem erro).
Calculemos R_{y} e Q_{z}:
R(x,y,z)=e^{z}+x^{2}+xy \quad\Rightarrow\quad R_{y}=x.
Q(x,y,z)=2xy+3y^{2}+xz \quad\Rightarrow\quad Q_{z}=x.
Portanto o primeiro componente do rotacional é
R_{y}-Q_{z}=x-x=0.
Agora P_{z} e R_{x}:
P(x,y,z)=2xz+y^{2}+yz \quad\Rightarrow\quad P_{z}=2x+y.
R(x,y,z)=e^{z}+x^{2}+xy \quad\Rightarrow\quad R_{x}=2x+y.
Assim
P_{z}-R_{x}=(2x+y)-(2x+y)=0.
Finalmente Q_{x} e P_{y}:
Q(x,y,z)=2xy+3y^{2}+xz \quad\Rightarrow\quad Q_{x}=2y+z.
P(x,y,z)=2xz+y^{2}+yz \quad\Rightarrow\quad P_{y}=2y+z.
Logo
Q_{x}-P_{y}=(2y+z)-(2y+z)=0.
Juntando tudo:
\operatorname{rot}\mathbf{F}=(0,0,0).

Passo 3

Interpretação e conclusão sobre ser conservativo (mini-aula).
  • Um campo vetorial \mathbf{F} é conservativo se existe uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f. Uma condição prática muito usada é: se \operatorname{rot}\mathbf{F}=0 em uma região simplesmente conexa, então \mathbf{F} é conservativo nessa região.
  • O domínio aqui é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo (não há buracos). Como encontramos \operatorname{rot}\mathbf{F}=0 em todo \mathbb{R}^3, podemos concluir que \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^3. Ou seja, existe função potencial f definida globalmente tal que \mathbf{F}=\nabla f.

Passo 4

Método para achar a função potencial f (como fazer passo a passo na prova).
  • Se \mathbf{F}=\nabla f, então
f_x=P,\qquad f_y=Q,\qquad f_z=R.
O procedimento prático: integrar f_x=P em relação a x, obter uma expressão com uma “constante” que pode depender de y,z; em seguida igualar sua derivada em y com Q para determinar essa função de y,z; finalmente ajustar com f_z.
Começando:
f_x(x,y,z)=2xz+y^{2}+yz.
Integro em x:
f(x,y,z)=\int (2xz+y^{2}+yz)\,dx = x^{2}z + x y^{2} + x y z + g(y,z),
onde g(y,z) é função a determinar (papel de “constante” na integração em x).

Passo 5

Determinar g(y,z) comparando f_y com Q.
  • Calcule f_y a partir da expressão encontrada:
f(x,y,z)=x^{2}z + x y^{2} + x y z + g(y,z)
\Rightarrow f_y = 2xy + xz + g_y(y,z).
Devemos ter f_y=Q=2xy+3y^{2}+xz. Comparando,
2xy + xz + g_y = 2xy + 3y^{2} + xz \quad\Rightarrow\quad g_y(y,z)=3y^{2}.
Integrando em y:
g(y,z)=\int 3y^{2}\,dy = y^{3} + h(z),
onde h(z) é outra “constante” (agora dependendo só de z).
Portanto
f(x,y,z)=x^{2}z + x y^{2} + x y z + y^{3} + h(z).

Passo 6

Determinar h(z) comparando f_z com R.
  • Calcule f_z:
f_z = x^{2} + x y + h'(z).
Devemos ter f_z=R=e^{z}+x^{2}+xy. Igualando:
x^{2}+xy + h'(z) = e^{z}+x^{2}+xy \quad\Rightarrow\quad h'(z)=e^{z}.
Integramos:
h(z)=\int e^{z}\,dz = e^{z} + C,
onde C é constante real (podemos tomar C=0 se quisermos uma potencial particular).
Assim uma função potencial vale
f(x,y,z)=x^{2}z + x y^{2} + x y z + y^{3} + e^{z} + C.
Em provas normalmente se omite a constante C (ou se coloca +C). Para checar (opcional) deriva-se e confirma-se que \nabla f=\mathbf{F} — isso é garantido pelo processo acima.

Passo 7

Calcular o trabalho entre os pontos usando a potencial (teorema fundamental para campos conservativos).
  • Se \mathbf{F}=\nabla f, o trabalho ao longo de qualquer curva C de A até B é
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
Aqui A=(1,0,-1) e B=(0,-1,\pi). Vamos avaliar f (escolhendo C=0).
Avaliação em B=(0,-1,\pi):
f(0,-1,\pi)= (0)^{2}\pi + 0\cdot(-1)^{2} + 0\cdot(-1)\pi + (-1)^{3} + e^{\pi} = -1 + e^{\pi}.
Avaliação em A=(1,0,-1):
f(1,0,-1)= 1^{2}(-1) + 1\cdot 0^{2} + 1\cdot 0\cdot(-1) + 0^{3} + e^{-1} = -1 + e^{-1}.
Logo o trabalho é
W=f(B)-f(A) = (e^{\pi}-1) - (-1 + e^{-1}) = e^{\pi} - \frac{1}{e}.

Resposta

(a) \operatorname{rot}\mathbf{F}=(0,0,0). \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
(b) Uma função potencial é
f(x,y,z)=x^{2}z + x y^{2} + x y z + y^{3} + e^{z} + C,
onde C é constante arbitrária (pode-se tomar C=0).
(c) O trabalho entre (1,0,-1) e (0,-1,\pi) é
W=e^{\pi}-e^{-1}.

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