Seja
um campo vetorial em
.
(a) ( 2,00 ) Calcule o rot
e mostre que
é conservativo.
(b)
Encontre uma função potencial
tal que
.
(c)
Se
é um campo de forças, ache o trabalho realizado por
ao longo de qualquer curva
de
até
.
(a) ( 2,00 ) Calcule o rot
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é solicitado.
Dados:
- O campo vetorial
é
Vou chamar as componentes por
, ou seja:
Pedidos:
(a) Calcular (ou seja,
) e mostrar que
é conservativo.
(b) Encontrar uma função potencial tal que
.
(c) Se é um campo de forças, achar o trabalho realizado por
ao longo de qualquer curva
que vá de
até
.
(a) Calcular
(b) Encontrar uma função potencial
(c) Se
Passo 2
Conceito e fórmula do rotacional (aula curtinha e direta).
- O rotacional (ou curl) de um campo
é o vetor
onde
,
, etc. Cada termo é uma derivada parcial simples.
Agora calculamos cada derivada parcial necessária para este campo (faço devagar para você copiar na prova sem erro).
Calculemos
e
:
Portanto o primeiro componente do rotacional é
Agora
e
:
Assim
Finalmente
e
:
Logo
Juntando tudo:
Passo 3
Interpretação e conclusão sobre ser conservativo (mini-aula).
- Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função tal que . Uma condição prática muito usada é: se em uma região simplesmente conexa, então é conservativo nessa região. - O domínio aqui é
, que é simplesmente conexo (não há buracos). Como encontramos em todo , podemos concluir que é conservativo em . Ou seja, existe função potencial definida globalmente tal que .
Passo 4
Método para achar a função potencial
(como fazer passo a passo na prova).
- Se
, então
O procedimento prático: integrar
em relação a
, obter uma expressão com uma “constante” que pode depender de
; em seguida igualar sua derivada em
com
para determinar essa função de
; finalmente ajustar com
.
Começando:
Integro em
:
onde
é função a determinar (papel de “constante” na integração em
).
Passo 5
Determinar
comparando
com
.
- Calcule
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
. Comparando,
Integrando em
:
onde
é outra “constante” (agora dependendo só de
).
Portanto
Passo 6
Determinar
comparando
com
.
- Calcule
:
Devemos ter
. Igualando:
Integramos:
onde
é constante real (podemos tomar
se quisermos uma potencial particular).
Assim uma função potencial vale
Em provas normalmente se omite a constante
(ou se coloca
). Para checar (opcional) deriva-se e confirma-se que
— isso é garantido pelo processo acima.
Passo 7
Calcular o trabalho entre os pontos usando a potencial (teorema fundamental para campos conservativos).
- Se
, o trabalho ao longo de qualquer curva de até é
Aqui
e
. Vamos avaliar
(escolhendo
).
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Logo o trabalho é
Resposta
(a)
.
é conservativo em
.
(b) Uma função potencial é
onde
é constante arbitrária (pode-se tomar
).
(c) O trabalho entre
e
é