Calcule a área da região A, sabendo que A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq x \leq 1\right. e \left.\sqrt{x} \leq y \leq x^{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região A definida por:
  • condição sobre x: 0 \leq x \leq 1;
  • condição sobre y: \sqrt{x} \leq y \leq x^{3}.
As perguntas implícitas são:
  • Qual é a região do plano satisfaça essas duas desigualdades simultaneamente?
  • Qual é a área dessa região?
Informações importantes dadas:
  • As curvas envolvidas são y=\sqrt{x}=x^{1/2} e y=x^{3}.
  • O intervalo de x é o fechado [0,1].

Passo 2

Vamos ver em que pontos as duas curvas se cruzam (ou seja, resolver \sqrt{x}=x^{3}). Escrevendo em potências:
x^{1/2}=x^{3}.
Para x\ge 0 podemos levar tudo para um lado:
x^{1/2}-x^{3}=0,
fatorando x^{1/2}:
x^{1/2}\bigl(1-x^{5/2}\bigr)=0.
Portanto as soluções são x^{1/2}=0 que dá x=0, ou 1-x^{5/2}=0 que dá x^{5/2}=1 e assim x=1. Conclusão: as curvas se intersectam apenas em x=0 e x=1.

Passo 3

Agora precisamos saber qual curva fica “acima” da outra no intervalo (0,1). Considere a função
h(x)=\sqrt{x}-x^{3}=x^{1/2}-x^{3}=x^{1/2}\bigl(1-x^{5/2}\bigr).
Para 0<x<1 tem-se 0<x^{5/2}<1, logo 1-x^{5/2}>0. Além disso x^{1/2}>0. Portanto h(x)>0 para todo x em (0,1). Isto significa que, para 0<x<1,
\sqrt{x}>x^{3}.
Em palavras: no interior do intervalo [0,1] a curva y=\sqrt{x} está acima da curva y=x^{3}; elas só coincidem nos extremos x=0 e x=1.

Passo 4

Dado o que acabamos de ver, para um x fixo com 0<x<1 a desigualdade \sqrt{x}\le y\le x^{3} não tem solução, porque exige um y maior ou igual a \sqrt{x} e ao mesmo tempo menor ou igual a x^{3}, mas \sqrt{x}>x^{3} nesse intervalo, então não há y que satisfaça ambas. Nos pontos x=0 e x=1 as duas curvas coincidem, então nesses x o único y permitido é y=0 (para x=0) e y=1 (para x=1).
Portanto a região A é formada apenas por, no máximo, os pontos (0,0) e (1,1) (ambos incluídos pelas desigualdades fechadas).

Passo 5

Uma região que consiste de um conjunto finito de pontos tem área nula (área igual a zero). Outra maneira de ver isso é tentar usar a fórmula habitual para a área por fatias verticais:
\text{área}=\int_{0}^{1}\bigl(\text{altura em }x\bigr)\,dx=\int_{0}^{1}\bigl(\text{valor máximo de }y-\text{valor mínimo de }y\bigr)\,dx.ááí
Aqui, para 0<x<1, a “altura” seria x^{3}-\sqrt{x}, que é negativa; isso indica que não existe segmento vertical de pontos com \sqrt{x}\le y\le x^{3}. O conjunto não tem área positiva; restam apenas os pontos de interseção, que têm medida (área) zero.

Passo 6

Resumo intuitivo e motivação: ao desenhar y=\sqrt{x} e y=x^{3} em [0,1] percebe-se que a curva y=\sqrt{x} passa por cima da curva y=x^{3} exceto nas extremidades. Pedir os pontos entre elas com \sqrt{x}\le y\le x^{3} é pedir a região “entre” mas com a ordem invertida — não existe região de área positiva entre elas com essa ordem. Logo a área é zero.

Resposta

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