Calcule a área da região
, sabendo que
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
definida por:
- condição sobre
: ; - condição sobre
: .
As perguntas implícitas são:
- Qual é a região do plano satisfaça essas duas desigualdades simultaneamente?
- Qual é a área dessa região?
Informações importantes dadas:
- As curvas envolvidas são
e . - O intervalo de
é o fechado .
Passo 2
Vamos ver em que pontos as duas curvas se cruzam (ou seja, resolver
). Escrevendo em potências:
Para
podemos levar tudo para um lado:
fatorando
:
Portanto as soluções são
que dá
, ou
que dá
e assim
. Conclusão: as curvas se intersectam apenas em
e
.
Passo 3
Agora precisamos saber qual curva fica “acima” da outra no intervalo
. Considere a função
Para
tem-se
, logo
. Além disso
. Portanto
para todo
em
. Isto significa que, para
,
Em palavras: no interior do intervalo
a curva
está acima da curva
; elas só coincidem nos extremos
e
.
Passo 4
Dado o que acabamos de ver, para um
fixo com
a desigualdade
não tem solução, porque exige um
maior ou igual a
e ao mesmo tempo menor ou igual a
, mas
nesse intervalo, então não há
que satisfaça ambas. Nos pontos
e
as duas curvas coincidem, então nesses
o único
permitido é
(para
) e
(para
).
Portanto a região
é formada apenas por, no máximo, os pontos
e
(ambos incluídos pelas desigualdades fechadas).
Passo 5
Uma região que consiste de um conjunto finito de pontos tem área nula (área igual a zero). Outra maneira de ver isso é tentar usar a fórmula habitual para a área por fatias verticais:
Aqui, para
, a “altura” seria
, que é negativa; isso indica que não existe segmento vertical de pontos com
. O conjunto não tem área positiva; restam apenas os pontos de interseção, que têm medida (área) zero.
Passo 6
Resumo intuitivo e motivação: ao desenhar
e
em
percebe-se que a curva
passa por cima da curva
exceto nas extremidades. Pedir os pontos entre elas com
é pedir a região “entre” mas com a ordem invertida — não existe região de área positiva entre elas com essa ordem. Logo a área é zero.