Determine o valor do limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor do limite, se existir:
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - A pergunta é se existe um número
tal que tende a quando se aproxima de ; e, se existir, qual é esse .
Passo 2
O que significa existir o limite em duas variáveis (explicação didática): existe
tal que, para todo
, existe
satisfazendo
Isto quer dizer que, qualquer que seja a forma como
se aproxima de
, o valor de
fica arbitrariamente próximo de
. Uma estratégia prática é mostrar que qualquer caminho que leve a
dá o mesmo valor limite; outra é usar propriedades analíticas (continuidade ou uma prova
-
).
Passo 3
Observação por caminhos simples (intuição):
- Se eu me aproximo por
, então e . - Se eu me aproximo por
, então e .
Esses dois caminhos sugerem que o limite pode ser. Mas isso não é prova completa: é preciso garantir que qualquer caminho dá o mesmo resultado.
Passo 4
Argumento geral simples usando limites de termos separados: se
então
e
. Como
e
, pela propriedade de soma de limites obtemos
Isto é uma explicação conceitual e correta: cada termo tende a zero independentemente da trajetória, então a soma tende a zero.
Passo 5
Prova
-
detalhada (para garantir rigor e ensinar a fazer na prova):
Queremos mostrar que, para todo
, existe
tal que
Começamos por estimar o módulo:
Escolhemos
. Se
então
, e para
vale
. Assim
Portanto, quando
temos
Agora basta escolher
de forma que o quadrado da distância seja pequeno: dado
, tome
Então, se
temos
Isso prova formalmente que o limite existe e vale
.
(Observação: na solução anterior usei
e uma outra desigualdade possível; aqui optei por uma escolha mais direta
que também funciona com a estimativa usada.)
Passo 6
Interpretação final e motivação prática: a função é um polinômio em
e
, e polinômios são contínuos, então o valor do limite ao ponto
é simplesmente
. A prova
-
acima mostra como justificar isso rigidamente na prova sem apelar apenas a “continuidade”.