Determine o valor do limite, se existir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2}+y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor do limite, se existir:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{2}+y^{3}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=x^{2}+y^{3}.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • A pergunta é se existe um número L tal que f(x,y) tende a L quando (x,y) se aproxima de (0,0); e, se existir, qual é esse L.

Passo 2

O que significa existir o limite em duas variáveis (explicação didática): existe \;L\in\mathbb{R}\; tal que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 satisfazendo
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x,y)-L|<\varepsilon.
Isto quer dizer que, qualquer que seja a forma como (x,y) se aproxima de (0,0), o valor de f(x,y) fica arbitrariamente próximo de L. Uma estratégia prática é mostrar que qualquer caminho que leve a (0,0) dá o mesmo valor limite; outra é usar propriedades analíticas (continuidade ou uma prova \varepsilon- \delta).

Passo 3

Observação por caminhos simples (intuição):
  • Se eu me aproximo por x=0, então f(0,y)=0^{2}+y^{3}=y^{3} e \lim_{y\to0}y^{3}=0.
  • Se eu me aproximo por y=0, então f(x,0)=x^{2}+0^{3}=x^{2} e \lim_{x\to0}x^{2}=0.
    Esses dois caminhos sugerem que o limite pode ser 0. Mas isso não é prova completa: é preciso garantir que qualquer caminho dá o mesmo resultado.

Passo 4

Argumento geral simples usando limites de termos separados: se (x,y)\to(0,0) então x\to0 e y\to0. Como \lim_{x\to0}x^{2}=0 e \lim_{y\to0}y^{3}=0, pela propriedade de soma de limites obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}+y^{3}\bigr)=0+0=0.
Isto é uma explicação conceitual e correta: cada termo tende a zero independentemente da trajetória, então a soma tende a zero.

Passo 5

Prova \varepsilon- \delta detalhada (para garantir rigor e ensinar a fazer na prova):
Queremos mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad\Rightarrow\quad |x^{2}+y^{3}-0|<\varepsilon.
Começamos por estimar o módulo:
|x^{2}+y^{3}|\le |x^{2}|+|y^{3}|=x^{2}+|y|^{3}.
Escolhemos \delta\le 1. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\le 1 então |y|<1, e para |y|<1 vale |y|^{3}\le |y|^{2}. Assim
x^{2}+|y|^{3}\le x^{2}+y^{2}=\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}.
Portanto, quando 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\le 1 temos
|x^{2}+y^{3}|\le \bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}.
Agora basta escolher \delta de forma que o quadrado da distância seja pequeno: dado \varepsilon>0, tome
\delta=\min\!\left(1,\sqrt{\varepsilon}\right).
Então, se 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta temos
|x^{2}+y^{3}|\le \bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}<\delta^{2}\le \varepsilon.
Isso prova formalmente que o limite existe e vale 0.
(Observação: na solução anterior usei \delta=\min(1,\sqrt{\varepsilon/2}) e uma outra desigualdade possível; aqui optei por uma escolha mais direta \delta=\min(1,\sqrt{\varepsilon}) que também funciona com a estimativa usada.)

Passo 6

Interpretação final e motivação prática: a função é um polinômio em x e y, e polinômios são contínuos, então o valor do limite ao ponto (0,0) é simplesmente f(0,0)=0. A prova \varepsilon- \delta acima mostra como justificar isso rigidamente na prova sem apelar apenas a “continuidade”.

Resposta

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