Determine o valor de m, e qual o quadrante do arco x, de modo que se tenha:
(a) sen x=m+13 e cos x=m raiz53

Passo 1

O enunciado dá as expressões sin x=m+13 e cos x=mraiz53, e pede o valor de m e em qual quadrante está o ângulo x. Vamos usar trigonometria de nível superior, especialmente a identidade pitagórica sin^2x+cos^2x=1.

Passo 2

Aplicamos a identidade pitagórica:
(m+13)^2 + (mraiz53)^2 = 1
Multiplicando por 9:
(m+1)^2 + 5m^2 = 9

Passo 3

Expandindo e simplificando obtemos:
m^2 + 2m + 1 + 5m^2 = 9
6m^2 + 2m - 8 = 0
Dividindo por 2:
3m^2 + m - 4 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática 3m^2+m-4=0 pela fórmula de Bhaskara:
m = -1 pm raiz1 + 486 = -1 pm 76
Logo
m1 = 1, m2 = -tfrac43

Passo 5

Para cada valor de m calculamos os sinais de sin x e cos x e determinamos o quadrante:
  • Se m=1:
    sin x = tfrac1+13=tfrac23>0 e cos x=tfracraiz53>0.
    Ângulo em QI.
  • Se m=-tfrac43:
    sin x = tfrac-tfrac43+13= -tfrac19<0 e cos x= -tfrac4raiz59<0.
    Ângulo em QIII.

Resposta

As soluções são:
– m = 1, com x no 1º quadrante.
– m = -4/3, com x no 3º quadrante.

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