a) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 2 & 4 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 2 & 2 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]. Mostrar que A é invertível e calcular A^{-1} através das operações elementares entre linhas. Calcule também, pela mesma técnica, o determinante de A.
b) Obtenha a solução do sistema linear A X=B dados que X^{T}=\left[\begin{array}{llll}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4}\end{array}\right] e B^{T}=\left[\begin{array}{llll}-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{4}{3}\end{array}\right].
(a) Mostrar que A é invertível, calcular A^{-1} usando operações elementares entre linhas e calcular \det(A) usando a mesma técnica.
(b) Resolver o sistema linear A X=B (ou seja, encontrar X).
Todas as informações relevantes estão acima (a matriz A e o vetor B). Não há imagens nem dados adicionais.]
Passo 2
Plano de ação e conceitos usados (aula rápida e prática):
Para obter A^{-1} por operações elementares entre linhas, constrói-se a matriz aumentada [\,A\mid I\,] e aplica-se Gauss–Jordan (operações de linha) até obter [\,I\mid A^{-1}\,]. As operações de linha permitidas são: R_i\leftrightarrow R_j (troca), R_i\leftarrow R_i + k R_j (adição com múltiplo), R_i\leftarrow \lambda R_i (multiplicação por escalar não nulo).
Efeito dessas operações no determinante:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por \lambda multiplica o determinante por \lambda.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Estratégia para \det(A): reduzir A a triangular superior usando apenas operações do tipo “adição de múltiplo de uma linha em outra” (essas não alteram o determinante). Então \det(A) é o produto dos elementos da diagonal da triangular superior obtida. Se for necessário usar troca ou escala, é preciso ajustar o determinante conforme acima.
Vou executar passo a passo as operações (com números exatos — frações) e mostrar como o bloco à direita (aumentado com I) muda: no fim terei A^{-1}. Ao longo do avanço, quando obter a triangular superior sem trocar linhas ou escalar, calculo \det(A) como produto das diagonais.
Agora a parte esquerda é triangular superior. Como até aqui não usei trocas nem escalas (apenas adições de múltiplos de linha), o determinante de A é o produto das entradas diagonais desta triangular superior:
Continuar Gauss–Jordan para obter a inversa. A partir da aumentada atual, vamos transformar a parte esquerda na identidade:
Primeiro, tornar o pivô de R_4 igual a 1: R_4 \leftarrow -\tfrac{2}{3}R_4 (multiplicar por -\tfrac{2}{3}). Atenção: multiplicar uma linha altera o determinante; já havíamos calculado \det(A) na etapa anterior (antes de escalas), então essa multiplicação agora não afetará o valor já obtido para \det(A). Aqui fazemos só para obter a inversa.
Aplicando R_4 \leftarrow -\tfrac{2}{3}R_4 ao lado direito:
Recap rápido (importante para a prova): o determinante foi calculado na etapa onde a matriz esquerda ficou triangular superior sem ter feito escalas nem trocas; o produto das diagonais deu \det(A)=-9. Como \det(A)\neq0, A é invertível e a inversa foi obtida acima por Gauss–Jordan.]
Passo 11
Resolver A X = B. Uma vez obtida A^{-1}, a solução é X = A^{-1}B. Usar as entradas exatas (frações).