Determine o valor de \mathbf{L} para que cada uma das funções a seguir sejam contínuas no ponto \mathbf{x}_{\mathbf{0}} dado.
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^{3}-27}{x-3} & \text { se } & x \neq 3 \\\\ 2+L & \text { se } & x=3\end{array}, x_{0}=3\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \frac{x^{3}-27}{x-3},&x\neq3,\\\\ 2+L,&x=3, \end{cases}
e pede o valor de L que torna f contínua em x_{0}=3. Para isso, precisamos que
\lim_{x\to3}f(x)=f(3).

Passo 2

Para calcular \lim_{x\to3}\frac{x^{3}-27}{x-3}, fatoramos o numerador:
x^{3}-27=(x-3)(x^{2}+3x+9).
Logo, para x\neq3,
\frac{x^{3}-27}{x-3}=x^{2}+3x+9,
que é contínua em x=3. Assim,
\lim_{x\to3}\frac{x^{3}-27}{x-3} =\bigl(3^{2}+3\cdot3+9\bigr) =9+9+9=27.

Passo 3

A continuidade exige
\lim_{x\to3}f(x)=f(3),
ou seja
27=2+L \quad\Longrightarrow\quad L=27-2=25.

Resposta

L=25

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