Determine o valor máximo da derivada direcional de
no ponto dado
e a direcão em que ocorre:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o valor máximo da derivada direcional de
no ponto
e (2) indicar a direção (vetor unitário) em que esse valor máximo ocorre.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que é a derivada direcional. Seja
um vetor unitário (ou seja,
). A derivada direcional de
em
na direção
, denotada por
, mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
na direção
. Para uma função diferenciável, vale a fórmula fundamental:
onde
é o gradiente de
em
e o símbolo
é o produto escalar. Intuição curta: a variação de
numa pequena passagem
é aproximadamente
, então dividindo por
chega-se à fórmula acima.
Passo 3
Agora, queremos o máximo possível de
variando sobre todos os vetores unitários
. Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz para o produto escalar:
Como
, obtemos
A igualdade ocorre exatamente quando
é paralelo a
(ou seja,
tem a mesma direção do gradiente). Conclusão prática: o valor máximo da derivada direcional em
é
e ocorre quando
é o vetor unitário na direção do gradiente.
Passo 4
Precisamos então calcular o gradiente
. Para
usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a uma variável é
. Aqui
. Assim:
Portanto o gradiente é
Passo 5
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Substituindo
,
,
em cada componente:
Logo
Passo 6
Calculemos a norma do gradiente em
:
Pelo passo 3, esse é o valor máximo da derivada direcional em
.
Passo 7
A direção onde ocorre o máximo é a direção do gradiente. O vetor unitário na direção de
é obtido normalizando esse vetor:
Observe que podemos também tomar qualquer múltiplo positivo do gradiente antes de normalizar; o importante é a direção.
Passo 8
Resumo final do raciocínio: calculamos
, a norma deu
, e o vetor unitário na direção do gradiente é
. Então o valor máximo e a direção pedida estão prontos.