Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto dado P e a direcão em que ocorre:
w=e^{x y z}, P=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o valor máximo da derivada direcional de f no ponto P e (2) indicar a direção (vetor unitário) em que esse valor máximo ocorre.
As informações dadas são:
f(x,y,z)=e^{xyz},\qquad P=(1,1,1).

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que é a derivada direcional. Seja u um vetor unitário (ou seja, \|u\|=1). A derivada direcional de f em P na direção u, denotada por D_{u}f(P), mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de P na direção u. Para uma função diferenciável, vale a fórmula fundamental:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u,
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e o símbolo \cdot é o produto escalar. Intuição curta: a variação de f numa pequena passagem h u é aproximadamente \nabla f(P)\cdot (h u), então dividindo por h chega-se à fórmula acima.

Passo 3

Agora, queremos o máximo possível de D_{u}f(P) variando sobre todos os vetores unitários u. Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz para o produto escalar:
\nabla f(P)\cdot u \le \|\nabla f(P)\|\,\|u\|.
Como \|u\|=1, obtemos
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u \le \|\nabla f(P)\|.
A igualdade ocorre exatamente quando u é paralelo a \nabla f(P) (ou seja, u tem a mesma direção do gradiente). Conclusão prática: o valor máximo da derivada direcional em P é \|\nabla f(P)\| e ocorre quando u é o vetor unitário na direção do gradiente.

Passo 4

Precisamos então calcular o gradiente \nabla f. Para f(x,y,z)=e^{xyz} usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x,y,z)} em relação a uma variável é \frac{\partial g}{\partial \text{variável}}\cdot e^{g}á. Aqui g(x,y,z)=xyz. Assim:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(e^{xyz}) = (yz)\,e^{xyz},
\frac{\partial f}{\partial y}= (xz)\,e^{xyz},
\frac{\partial f}{\partial z}= (xy)\,e^{xyz}.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y,z) = \bigl(yz\,e^{xyz},\; xz\,e^{xyz},\; xy\,e^{xyz}\bigr).

Passo 5

Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(1,1,1). Substituindo x=1, y=1, z=1 em cada componente:
yz\,e^{xyz} = 1\cdot 1 \cdot e^{1}=e,
xz\,e^{xyz} = 1\cdot 1 \cdot e^{1}=e,
xy\,e^{xyz} = 1\cdot 1 \cdot e^{1}=e.
Logo
\nabla f(1,1,1) = (e,e,e).

Passo 6

Calculemos a norma do gradiente em P:
\|\nabla f(1,1,1)\| = \sqrt{e^{2}+e^{2}+e^{2}} = \sqrt{3e^{2}} = e\sqrt{3}.
Pelo passo 3, esse é o valor máximo da derivada direcional em P.

Passo 7

A direção onde ocorre o máximo é a direção do gradiente. O vetor unitário na direção de (e,e,e) é obtido normalizando esse vetor:
u=\frac{(e,e,e)}{\| (e,e,e)\|} = \frac{(e,e,e)}{e\sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Observe que podemos também tomar qualquer múltiplo positivo do gradiente antes de normalizar; o importante é a direção.

Passo 8

Resumo final do raciocínio: calculamos \nabla f(1,1,1)=(e,e,e), a norma deu e\sqrt{3}, e o vetor unitário na direção do gradiente é \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right). Então o valor máximo e a direção pedida estão prontos.

Resposta

e\sqrt{3}
\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)

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