Utilizando integração, calcule a área da figura determinada pela função f(x)=x^{3}, com x \in[-3,3].
Passo 1
O enunciado dá a função \,f(x)=x^{3}\, no intervalo \,x\in[-3,3]\, e pede a área da figura delimitada por essa curva e o eixo x nesse intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
A função é \,f(x)=x^{3}\,.
O intervalo é \,[-3,3]\,.
Valores pontuais que podem ajudar: \,f(-3)=-27\,,\;f(0)=0\,,\;f(3)=27\,.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): a integral definida \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx calcula a “área assinada” entre a curva e o eixo x: partes da curva acima do eixo contribuem com área positiva e partes abaixo contribuem com área negativa. Mas quando a pergunta é a “área geométrica” (sempre positiva), devemos integrar o valor absoluto da função. Portanto a área procurada é
\text{Área}=\int_{-3}^{3} |f(x)|\,dx.
Explicação do porquê: se f(x) é negativa em uma subintervalo, a integral usual dá um número negativo ali; para a área física queremos o positivo, por isso usamos |f(x)|.
Passo 3
Analisar o sinal de \,f(x)=x^{3}\, no intervalo:
Para x<0, \,x^{3}<0.
Para x=0, \,x^{3}=0.
Para x>0, \,x^{3}>0.
Logo a função é negativa em [-3,0) e positiva em (0,3]. Assim precisamos separar a integral em duas partes e tomar o sinal apropriado:
Aqui coloquei um sinal negativo no primeiro termo porque \int_{-3}^{0} x^{3}\,dx é negativo e queremos sua contribuição positiva para a área.
Passo 4
Observação que facilita (simetria): \,f(x)=x^{3}\, é uma função ímpar, pois \,f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\,. Para funções ímpares definidas em [-a,a], as áreas nas metades esquerda e direita têm a mesma magnitude. Assim podemos escrever de forma mais simples:
\text{Área}=2\int_{0}^{3} x^{3}\,dx.
Isso evita fazer duas avaliações separadas e aproveita a simetria do problema.
Passo 5
Calcular a primitiva de \,x^{3}\,: uma primitive é \,F(x)=\frac{1}{4}x^{4}\,, porque ao derivar \,F'(x)=\frac{1}{4}\cdot 4x^{3}=x^{3}. Sempre que eu uso uma primitiva, verifico diferenciando — é uma boa prática para a prova. Então