Usando a regra da cadeia para
e
, calcule:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais
,
,
,
e
.
Informações dadas (tudo que vamos usar):
Vou usar a regra da cadeia para funções compostas:
depende de
e
dependem de
. Antes de calcular, listei as relações explícitas para não me perder.
Passo 2
Entender e calcular as derivadas parciais de
em relação a
. Lembre-se: derivada parcial de
em relação a
significa variar
mantendo
constantes, etc.
Calculemos:
Pequena explicação: por exemplo
com
é
porque
é tratado como constante; para
com
é
porque
é tratado como constante.
Passo 3
Agora, derivadas de
em relação às suas variáveis
. Aqui tratamos
como variáveis independentes para obter os coeficientes da regra da cadeia (anote:
significa
).
A função é
. Calculando as parciais:
Explicação: por exemplo,
,
(pois não depende de
), e
.
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para
. Fórmula geral (para função
com
dependendo de
):
Substituindo os termos que já calculamos:
Agora vamos simplificar passo a passo. Primeiro agrupar os dois últimos termos que têm fator
:
Logo
Podemos também substituir
(observe que
) para expressar em termos de
:
Logo
Passo 5
Agora
. Usamos a mesma regra da cadeia:
Substituindo os valores:
Substituindo
temos
. Portanto
Passo 6
Agora
. Regra da cadeia:
Substituindo:
Com
(porque
):
Passo 7
Verificação alternativa (checar se os resultados fazem sentido): podemos escrever
diretamente em termos de
substituindo
:
Derivando esta expressão diretamente:
que coincidem com os resultados obtidos pela regra da cadeia — ótimo, confirmação feita!