Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule: \frac{\partial z}{\partial t}, \frac{\partial z}{\partial s} \mathrm{e} \frac{\partial w}{\partial t}, \frac{\partial w}{\partial s} \mathrm{e} \frac{\partial w}{\partial r}.
w=x y+y z+z x, x=t r, y=s t, z=t s

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais
\dfrac{\partial z}{\partial t}, \dfrac{\partial z}{\partial s}, \dfrac{\partial w}{\partial t}, \dfrac{\partial w}{\partial s} e \dfrac{\partial w}{\partial r}.
Informações dadas (tudo que vamos usar):
w = x y + y z + z x,\qquad x = t r,\qquad y = s t,\qquad z = t s.
Vou usar a regra da cadeia para funções compostas: w depende de (x,y,z) e (x,y,z) dependem de (t,s,r). Antes de calcular, listei as relações explícitas para não me perder.

Passo 2

Entender e calcular as derivadas parciais de x,y,z em relação a t,s,r. Lembre-se: derivada parcial de x em relação a t significa variar t mantendo s,r constantes, etc.
Calculemos:
\frac{\partial x}{\partial t} = r,\qquad \frac{\partial x}{\partial s}=0,\qquad \frac{\partial x}{\partial r}=t.
\frac{\partial y}{\partial t} = s,\qquad \frac{\partial y}{\partial s}=t,\qquad \frac{\partial y}{\partial r}=0.
\frac{\partial z}{\partial t} = s,\qquad \frac{\partial z}{\partial s}=t,\qquad \frac{\partial z}{\partial r}=0.
Pequena explicação: por exemplo \frac{\partial x}{\partial t} com x=t r é r porque r é tratado como constante; para \frac{\partial y}{\partial s} com y=s t é t porque t é tratado como constante.

Passo 3

Agora, derivadas de w em relação às suas variáveis x,y,z. Aqui tratamos x,y,z como variáveis independentes para obter os coeficientes da regra da cadeia (anote: w_x significa \partial w/\partial x).
A função é w(x,y,z)=x y + y z + z x. Calculando as parciais:
\frac{\partial w}{\partial x} = y + z,
\frac{\partial w}{\partial y} = x + z,
\frac{\partial w}{\partial z} = x + y.
Explicação: por exemplo, \partial (xy)/\partial x = y, \partial (yz)/\partial x = 0 (pois não depende de x), e \partial (zx)/\partial x = z.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial t}. Fórmula geral (para função w(x,y,z) com x,y,z dependendo de t):
\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}.
Substituindo os termos que já calculamos:
\frac{\partial w}{\partial t} = (y+z)\cdot r + (x+z)\cdot s + (x+y)\cdot s.
Agora vamos simplificar passo a passo. Primeiro agrupar os dois últimos termos que têm fator s:
(x+z)\cdot s + (x+y)\cdot s = s\big((x+z)+(x+y)\big) = s\big(2x + y + z\big).
Logo
\frac{\partial w}{\partial t} = r(y+z) + s(2x + y + z).
Podemos também substituir x=t r,\; y=t s,\; z=t s (observe que y=z=t s) para expressar em termos de t,s,r:
y+z = 2 t s,\qquad 2x + y + z = 2 t r + 2 t s = 2 t(r+s).
Logo
\frac{\partial w}{\partial t} = r\cdot 2 t s + s\cdot 2 t(r+s) = 2 t s r + 2 t s r + 2 t s^2 = 2 t s(2r + s).

Passo 5

Agora \dfrac{\partial w}{\partial s}. Usamos a mesma regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial s} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s}.
Substituindo os valores:
\frac{\partial w}{\partial s} = (y+z)\cdot 0 + (x+z)\cdot t + (x+y)\cdot t = t\big((x+z)+(x+y)\big) = t\big(2x + y + z\big).
Substituindo x=t r,\; y=z=t s temos 2x + y + z = 2t(r+s). Portanto
\frac{\partial w}{\partial s} = t\cdot 2 t (r+s) = 2 t^2 (r + s).

Passo 6

Agora \dfrac{\partial w}{\partial r}. Regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial r} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r}.
Substituindo:
\frac{\partial w}{\partial r} = (y+z)\cdot t + (x+z)\cdot 0 + (x+y)\cdot 0 = t(y+z).
Com y+z=2 t s (porque y=z=t s):
\frac{\partial w}{\partial r} = t\cdot 2 t s = 2 t^2 s.

Passo 7

Verificação alternativa (checar se os resultados fazem sentido): podemos escrever w diretamente em termos de t,s,r substituindo x,y,z:
w = x y + y z + z x = t^2 r s + t^2 s^2 + t^2 r s = t^2 s(2r + s).
Derivando esta expressão diretamente:
\frac{\partial w}{\partial t} = 2 t s(2r + s),\qquad \frac{\partial w}{\partial s} = 2 t^2 (r + s),\qquad \frac{\partial w}{\partial r} = 2 t^2 s,
que coincidem com os resultados obtidos pela regra da cadeia — ótimo, confirmação feita!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=s
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=t
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}=2 t s(2r + s)
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}=2 t^{2}(r + s)
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial r}=2 t^{2}s

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