Determine o valor máximo de f(x, y)=x^a y^b para x, y >= 0 sobre a reta x+y=1, em que a, b>0 são constantes.

Passo 1

Aqui nosso desafio é maximizar a função f(x,y)=x^a y^b sobre a reta x+y=1 com x,y>=0 e constantes positivas a,b>0. Vamos usar conceitos de otimização: reduzir a restrição por substituição e depois achar pontos críticos via derivada.

Passo 2

Como x+y=1, podemos escrever y=1-x. Definimos então a função de uma variável
g(x)=x^a(1-x)^b,
com domínio 0<= x<=1. Note que em x=0 ou x=1 temos g=0, logo o máximo (se existir) ocorre em algum x no interior.

Passo 3

Para encontrar o ponto crítico usamos derivada. Aplicando regra do produto e potência:
g'(x)=a x^a-1(1-x)^b - b x^a(1-x)^b-1
Fatorando:
g'(x)=x^a-1(1-x)^b-1igl(a(1-x)-b xr) 

Passo 4

O fator x^a-1(1-x)^b-1 não anula para 0, então igualamos o colchete a zero:
a(1-x)=b x
que leva a
x=aa+b,
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y=1-x=ba+b

Passo 5

Substituindo esse ponto em f, obtemos o valor máximo:
fmax=l(aa+br)^a,l(ba+br)^b

Resposta

maxx+y=1x^a y^b=l(tfracaa+br)^a,l(tfracba+br)^b

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