Determine o valor máximo de
para
sobre a reta
, em que
são constantes.
Passo 1
Aqui nosso desafio é maximizar a função
sobre a reta
com
e constantes positivas
. Vamos usar conceitos de otimização: reduzir a restrição por substituição e depois achar pontos críticos via derivada.
Passo 2
Como
, podemos escrever
. Definimos então a função de uma variável
com domínio
. Note que em
ou
temos
, logo o máximo (se existir) ocorre em algum
no interior.
Passo 3
Para encontrar o ponto crítico usamos derivada. Aplicando regra do produto e potência:
Fatorando:
Passo 4
O fator
não anula para
, então igualamos o colchete a zero:
que leva a
logo
Passo 5
Substituindo esse ponto em
, obtemos o valor máximo: