Determine três números positivos cuja soma dá 150 de tal forma que o produto entre esses números seja o máximo possível. Resolva diretamente, isto é, sem utilizar o método dos múltiplos de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar três números positivos que somem 150 e que, quando multiplicados, deem o maior produto possível. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como máximos funcionam em funções simples.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os três números de $ x $, $ y $ e $ z $. Sabemos que a soma deles é 150:
x
Queremos maximizar o produto $ P = x \times y \times z $.

Passo 3

Para facilitar, podemos expressar uma das variáveis em função das outras duas. Vamos resolver a equação da soma para $ z $:
z
Agora, nosso produto fica:
z = 150 - x - y

Passo 4

Para encontrar o máximo desse produto, precisamos encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que fazem $ P $ ser o maior possível. Uma forma simples de fazer isso é pensar na simetria do problema. Quando os números são iguais, geralmente o produto é máximo.

Passo 5

Vamos supor que $ x = y = z $. Como a soma é 150, cada número seria:
x = y = z

Passo 6

Vamos verificar se esse é realmente o máximo. Calculando o produto:
P = 50 times 50 times 50 = 125.000
Qualquer outra combinação de três números que somem 150 dará um produto menor que 125.000. Por exemplo, se escolhermos 60, 60 e 30:
P = 60 times 60 times 30 = 108.000
Que é menor que 125.000.

Resposta

Os três números são 50, 50 e 50, e esse produto é o máximo possível, igual a 125.000.

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