Determine três números positivos cuja soma dá 150 de tal forma que o produto entre esses números seja o máximo possível. Resolva diretamente, isto é, sem utilizar o método dos múltiplos de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrar três números positivos que somem 150 e que, quando multiplicados, deem o maior produto possível. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como máximos funcionam em funções simples.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os três números de $ x $, $ y $ e $ z $. Sabemos que a soma deles é 150:
Queremos maximizar o produto $ P = x \times y \times z $.
Passo 3
Para facilitar, podemos expressar uma das variáveis em função das outras duas. Vamos resolver a equação da soma para $ z $:
Agora, nosso produto fica:
Passo 4
Para encontrar o máximo desse produto, precisamos encontrar os valores de $ x $ e $ y $ que fazem $ P $ ser o maior possível. Uma forma simples de fazer isso é pensar na simetria do problema. Quando os números são iguais, geralmente o produto é máximo.
Passo 5
Vamos supor que $ x = y = z $. Como a soma é 150, cada número seria:
Passo 6
Vamos verificar se esse é realmente o máximo. Calculando o produto:
Qualquer outra combinação de três números que somem 150 dará um produto menor que 125.000. Por exemplo, se escolhermos 60, 60 e 30:
Que é menor que 125.000.
Resposta
Os três números são 50, 50 e 50, e esse produto é o máximo possível, igual a 125.000.