Deseja-se amostrar os seguintes sinais usando um trem de impulsos com período de amostragem
, determine o intervalo de valores para
que evita a ocorrência de aliasing.
Passo 1
O exercício pede para descobrir o intervalo de valores do período de amostragem
que evita aliasing (sobreposição de espectros) quando amostramos o sinal
Conteúdo: Processamento de sinais – Teorema de Amostragem de Nyquist.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Identificar as frequências máximas de cada termo de
via Transformada de Fourier. - Aplicar o critério de Nyquist (taxa de amostragem > duas vezes a frequência máxima do sinal).
Passo 2
Vamos separar os dois termos e achar a maior frequência presente.
Para cada um, a gente pergunta: “até que frequência (em Hz) esse cara ocupa espectro?”
Passo 3
Teoria rápida:
- A Transformada de Fourier de é uma função que vale constante para
e zero fora, ou seja, é “band-limited” a . - A Transformada de Fourier de
tem dois pulsos em (ou em no domínio angular).
Aplicando isso:
- Para , o limite angular é
rad/s. Em frequência em Hz isso dá
- Para
, a frequência é simplesmente
Logo, a maior frequência do sinal é
Passo 4
Teorema de Nyquist (em Hz):
Para evitar aliasing a taxa de amostragem deve satisfazer
Para evitar aliasing a taxa de amostragem
Como
, isso vira
Resposta
O período de amostragem deve satisfazer
para não ocorrer aliasing.