Deseja-se amostrar os seguintes sinais usando um trem de impulsos com período de amostragem Ts, determine o intervalo de valores para Ts que evita a ocorrência de aliasing.
x(t)=1t sen(3 pi t)+cos (2 pi t)

Passo 1

O exercício pede para descobrir o intervalo de valores do período de amostragem Ts que evita aliasing (sobreposição de espectros) quando amostramos o sinal
Conteúdo: Processamento de sinais – Teorema de Amostragem de Nyquist.
O que vamos precisar:
  • Identificar as frequências máximas de cada termo de x(t)=1tsen(3pi t)+cos(2pi t) via Transformada de Fourier.
  • Aplicar o critério de Nyquist (taxa de amostragem > duas vezes a frequência máxima do sinal).

Passo 2

Vamos separar os dois termos e achar a maior frequência presente.
  1. x1(t)=1tsen(3pi t)
Para cada um, a gente pergunta: “até que frequência (em Hz) esse cara ocupa espectro?”

Passo 3

Teoria rápida:
  • A Transformada de Fourier de é uma função que vale constante para sen(omega0 t)/t e zero fora, ou seja, é “band-limited” a |omega|<=omega0.
  • A Transformada de Fourier de omega0 tem dois pulsos em cos(2pi f0 t) (ou em pm f0 no domínio angular).
Aplicando isso:
  1. Para , o limite angular é pmomega0rad/s. Em frequência em Hz isso dá
x1(t)=sen(3pi t)/t
  1. Para omega1=3pi,, a frequência é simplesmente
f1=omega12pi=3pi2pi=1,5 Hz
Logo, a maior frequência do sinal é
x2(t)=cos(2pi t)

Passo 4

Teorema de Nyquist (em Hz):
Para evitar aliasing a taxa de amostragem fs deve satisfazer
fs>2,fmax
Como fs=1/Ts, isso vira
1Ts>2cdot1,5 Longrightarrow Ts<13 s

Resposta

O período de amostragem deve satisfazer
0
para não ocorrer aliasing.

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