Determine o valor máximo e o valor mínimo de f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+2 z^{2}-4 x y-4 z em D, onde:
D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\right. e \left.x+y \leq z\right\}

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo e o valor mínimo da função
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+2z^{2}-4xy-4z
no conjunto
D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \text{ e } x+y\leq z\right\}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{1) A restrição esférica: }g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.\\\ &\text{2) A restrição linear (meia-esfera): }h(x,y,z)=x+y-z\leq 0.\\\ &\text{3) A função }f\text{ é contínua e }D\text{ é fechado e limitado (compacto)},\\\ &\quad\text{logo }f\text{ atinge máximo e mínimo em }D. \end{aligned}çãéçãçãéíéáí

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): para otimizar em um conjunto com uma igualdade e uma desigualdade aplicamos as condições de Kuhn–Tucker (KKT). Há duas situações a checar:
\text{(A) desigualdade inativa: }h<0\Rightarrow\mu=0\\ (\text{aplica-se Lagrange só com }g=0);ó
\text{(B) desigualdade ativa: }h=0\Rightarrow\mu\ge0\\ (\text{aplica-se Lagrange com }g=0,h=0).
Também devemos checar pontos especiais triviais que satisfazem as condições (por ex. pontos com x=y=0 na esfera). Vou analisar as duas situações e comparar todos os candidatos para determinar máximo e mínimo.

Passo 3

Caso (A): desigualdade inativa ( \mu=0\)). Escrevemos o Lagrange com somente a restrição esférica: \[\mathcal{L}=f-\lambda(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4).
As condições de estacionaridade \nabla\mathcal{L}=0 dão
\begin{cases} 2x-4y-2\lambda x=0,\\[4pt] 2y-4x-2\lambda y=0,\\[4pt] 4z-4-2\lambda z=0, \end{cases}
ou reescrevendo
\begin{cases} (2-2\lambda)x-4y=0,\\[4pt] -4x+(2-2\lambda)y=0,\\[4pt] (4-2\lambda)z=4. \end{cases}
Das duas primeiras equações temos um sistema linear homogêneo em (x,y]. Para ter solução não-trivial, o determinante deve ser zero:
(2-2\lambda)^{2}-(-4)(-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)^{2}=8.
Logo
1-\lambda=\pm 2\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=1\mp 2\sqrt{2}.]

Passo 4

Continuando o caso (A): para cada \lambda obtemos relações entre x e y.
  • Se 1-\lambda=2\sqrt{2} então das equações vem
2\sqrt{2}\,x-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\sqrt{2}\,x.
  • Se 1-\lambda=-2\sqrt{2} então
-2\sqrt{2}\,x-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-\sqrt{2}\,x.
Além disso, da terceira equação
(4-2\lambda)z=4 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{2}{2-\lambda},
desde que 2-\lambda\neq0.

Passo 5

Tratamos cada subcaso do (A) e verificamos a desigualdade x+y\le z (lembrando que \mu=0 exige x+y\le z, e se for estrita então o ponto está no interior relativo de D sobre a esfera).
Subcaso (i): y=\sqrt{2}x com \lambda=1-2\sqrt{2}.
Calculemos z exatamente:
z=\frac{2}{2-\lambda}=\frac{2}{2-(1-2\sqrt{2})}=\frac{2}{1+2\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}-2}{7}.
Da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 temos x^{2}(1+2)+z^{2}=4, isto é
3x^{2}=4-z^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{4-z^{2}}{3}.
Calculando z^{2} e x^{2} (cálculo exato):
z^{2}=\frac{(4\sqrt{2}-2)^{2}}{49}=\frac{36-16\sqrt{2}}{49},
x^{2}=\frac{4-\dfrac{36-16\sqrt{2}}{49}}{3}=\frac{160+16\sqrt{2}}{147}.
Aqui y=\sqrt{2}x então xy=\sqrt{2}x^{2}. A desigualdade x+y\le z vale para as duas escolhas de sinal de x que satisfazem x^{2}, mas só a escolha com x<0 torna x+y suficientemente pequena para ser \le z. Assim há um ponto com y=\sqrt{2}x e x<0 que é viável. O valor de f nesse ponto (mesmo independente do sinal de x, pois depende de x^{2} e xy=\sqrt{2}x^{2}) é
\begin{aligned} f&=x^{2}+y^{2}+2z^{2}-4xy-4z\\[4pt] &=3x^{2}+2z^{2}-4\sqrt{2}\,x^{2}-4z\\[4pt] &=x^{2}(3-4\sqrt{2})+2z^{2}-4z. \end{aligned}
Substituindo os valores encontrados e simplificando obtemos (cálculo exato)
f_{\text{int}}=\frac{736-1024\sqrt{2}}{147}\approx -4{,}845.
Este ponto é viável (satisfaz x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x+y<z para a escolha x<0) e é candidato a mínimo.
Subcaso (ii): y=-\sqrt{2}x com \lambda=1+2\sqrt{2}.
Aqui
z=\frac{2}{2-(1+2\sqrt{2})}=\frac{2}{1-2\sqrt{2}}<0.
Calculando x^{2} da esfera obtemos um valor positivo, mas ao verificar a desigualdade x+y\le z vemos que ela não é satisfeita para nenhuma escolha de sinal de x. Portanto esses pontos não pertencem a D e são descartados.
Também há a solução trivial x=y=0. Da terceira equação (com \mu=0) obtemos \lambda=1 e então z^{2}=4\Rightarrow z=\pm 2. Dentre esses, somente z=2 satisfaz x+y\le z. Esse ponto (0,0,2) pertence a D e dá
f(0,0,2)=0+0+8-0-8=0,
sendo outro candidato (valor 0).]

Passo 6

Caso (B): desigualdade ativa ( x+y=z, com \mu\ge0). Substituímos z=x+y e reduzimos para duas variáveis na esfera.
Substituindo em x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 obtemos
x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}+xy=2.
A função f com z=x+y fica
\begin{aligned} f&=x^{2}+y^{2}+2(x+y)^{2}-4xy-4(x+y)\\[4pt] &=3x^{2}+3y^{2}-4(x+y). \end{aligned}
É conveniente usar s=x+y. Observando que x^{2}+y^{2}=s^{2}-2xy e da restrição x^{2}+y^{2}+xy=2 temos x^{2}+y^{2}=4-s^{2}. Logo f em termos de s é
f(s)=3(4-s^{2})-4s=12-3s^{2}-4s,
com s sujeito à condição proveniente da existência de x,y: o discriminante da equação quadrática para x,y deve ser não-negativo. Isso dá
\Delta=8-3s^{2}\ge 0\quad\Longrightarrow\quad s^{2}\le \frac{8}{3}.
Portanto s\in\left[-\sqrt{\tfrac{8}{3}},\sqrt{\tfrac{8}{3}}\right] e lembrando z=s.]

Passo 7

Analisamos f(s)=12-3s^{2}-4s no intervalo s\in\left[-\sqrt{\tfrac{8}{3}},\sqrt{\tfrac{8}{3}}\right].
  • É uma parábola voltada para baixo (coeficiente de s^{2} é -3); o vértice dá o máximo.
    O vértice está em
s^{*}=-\frac{(-4)}{2(-3)}=-\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}.
Esse s^{*} pertence ao intervalo permitido, logo é o ponto de máximo sobre a fronteira ativa. O valor máximo na fronteira é
f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=12-3\left(\tfrac{4}{9}\right)-4\left(-\tfrac{2}{3}\right)=12-\tfrac{4}{3}+\tfrac{8}{3}=\tfrac{40}{3}\approx 13{,}333.
  • Os possíveis mínimos na fronteira ocorrem nas extremidades s=\pm\sqrt{\tfrac{8}{3}}. Calculando em s=+\sqrt{\tfrac{8}{3}} obtemos
f\!\left(\sqrt{\tfrac{8}{3}}\right)=4-4\sqrt{\tfrac{8}{3}}\approx -2{,}528,
e em s=-\sqrt{\tfrac{8}{3}} obtemos um valor maior (aprox. 10{,}528). Assim o mínimo relativo na fronteira ativa é aproximadamente -2{,}528.

Passo 8

Comparação final entre todos os candidatos:
\begin{aligned} &\text{(i) ponto interior obtido em Passo 5: }f=\dfrac{736-1024\sqrt{2}}{147}\approx -4{,}845;\\[4pt] &\text{(ii) ponto }(0,0,2):\\ f=0;\\[4pt] &\text{(iii) fronteira ativa (máximo): }f=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}333;\\[4pt] &\text{(iv) fronteira ativa (mínimo na fronteira): }f=4-4\sqrt{\tfrac{8}{3}}\approx -2{,}528. \end{aligned}áí
O menor valor entre esses é \dfrac{736-1024\sqrt{2}}{147} (≈ -4{,}845), obtido no caso interior com y=\sqrt{2}x e x<0. O maior valor é \dfrac{40}{3}, obtido na fronteira ativa para s=x+y=-\tfrac{2}{3} (e z=s).]

Resposta

Máximo: \dfrac{40}{3}\nMínimo: \dfrac{736-1024\sqrt{2}}{147}

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