Determine o valor máximo e o valor mínimo de f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+2 z^{2}-4 x y-4 z em D, onde: D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\right. e \left.x+y \leq z\right\}
Passo 1
O enunciado pede o valor máximo e o valor mínimo da função
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+2z^{2}-4xy-4z
no conjunto
D=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \text{ e } x+y\leq z\right\}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{1) A restrição esférica: }g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.\\\ &\text{2) A restrição linear (meia-esfera): }h(x,y,z)=x+y-z\leq 0.\\\ &\text{3) A função }f\text{ é contínua e }D\text{ é fechado e limitado (compacto)},\\\ &\quad\text{logo }f\text{ atinge máximo e mínimo em }D. \end{aligned}
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): para otimizar em um conjunto com uma igualdade e uma desigualdade aplicamos as condições de Kuhn–Tucker (KKT). Há duas situações a checar:
\text{(A) desigualdade inativa: }h<0\Rightarrow\mu=0\\ (\text{aplica-se Lagrange só com }g=0);
\text{(B) desigualdade ativa: }h=0\Rightarrow\mu\ge0\\ (\text{aplica-se Lagrange com }g=0,h=0).
Também devemos checar pontos especiais triviais que satisfazem as condições (por ex. pontos com x=y=0 na esfera). Vou analisar as duas situações e comparar todos os candidatos para determinar máximo e mínimo.
Passo 3
Caso (A): desigualdade inativa (\mu=0\)).
Escrevemos o Lagrange com somente a restrição esférica:
\[\mathcal{L}=f-\lambda(x^{2}+y^{2}+z^{2}-4).
As condições de estacionaridade \nabla\mathcal{L}=0 dão
Das duas primeiras equações temos um sistema linear homogêneo em (x,y]. Para ter solução não-trivial, o determinante deve ser zero: (2-2\lambda)^{2}-(-4)(-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)^{2}=8.
Logo 1-\lambda=\pm 2\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=1\mp 2\sqrt{2}.]
Passo 4
Continuando o caso (A): para cada \lambda obtemos relações entre x e y.
Tratamos cada subcaso do (A) e verificamos a desigualdade x+y\le z (lembrando que \mu=0 exige x+y\le z, e se for estrita então o ponto está no interior relativo de D sobre a esfera).
Subcaso (i): y=\sqrt{2}x com \lambda=1-2\sqrt{2}.
Calculemos z exatamente:
Aqui y=\sqrt{2}x então xy=\sqrt{2}x^{2}. A desigualdade x+y\le z vale para as duas escolhas de sinal de x que satisfazem x^{2}, mas só a escolha com x<0 torna x+y suficientemente pequena para ser \le z. Assim há um ponto com y=\sqrt{2}x e x<0 que é viável. O valor de f nesse ponto (mesmo independente do sinal de x, pois depende de x^{2} e xy=\sqrt{2}x^{2}) é
Calculando x^{2} da esfera obtemos um valor positivo, mas ao verificar a desigualdade x+y\le z vemos que ela não é satisfeita para nenhuma escolha de sinal de x. Portanto esses pontos não pertencem a D e são descartados.
Também há a solução trivial x=y=0. Da terceira equação (com \mu=0) obtemos \lambda=1 e então z^{2}=4\Rightarrow z=\pm 2. Dentre esses, somente z=2 satisfaz x+y\le z. Esse ponto (0,0,2) pertence a D e dá
f(0,0,2)=0+0+8-0-8=0,
sendo outro candidato (valor 0).]
Passo 6
Caso (B): desigualdade ativa (x+y=z, com \mu\ge0). Substituímos z=x+y e reduzimos para duas variáveis na esfera.
e em s=-\sqrt{\tfrac{8}{3}} obtemos um valor maior (aprox. 10{,}528). Assim o mínimo relativo na fronteira ativa é aproximadamente -2{,}528.
Passo 8
Comparação final entre todos os candidatos:
\begin{aligned} &\text{(i) ponto interior obtido em Passo 5: }f=\dfrac{736-1024\sqrt{2}}{147}\approx -4{,}845;\\[4pt] &\text{(ii) ponto }(0,0,2):\\ f=0;\\[4pt] &\text{(iii) fronteira ativa (máximo): }f=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}333;\\[4pt] &\text{(iv) fronteira ativa (mínimo na fronteira): }f=4-4\sqrt{\tfrac{8}{3}}\approx -2{,}528. \end{aligned}áí
O menor valor entre esses é \dfrac{736-1024\sqrt{2}}{147} (≈ -4{,}845), obtido no caso interior com y=\sqrt{2}x e x<0. O maior valor é \dfrac{40}{3}, obtido na fronteira ativa para s=x+y=-\tfrac{2}{3} (e z=s).]