Determine o valor máximo e o valor mínimo de f(x, y, z)=2 x+y-z^{2} em D, onde:
3.
a) D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0, z>0\right. e \left.2 x+y+4=2 z\right\}
b) D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0, z>0\right. e \left.2 x+y+4 \geq 2 z\right\}

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo e o valor mínimo da função f(x,y,z)=2x+y-z^{2} em dois conjuntos D.
Lista das informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Para ambos os itens:}\quad g(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0,\quad z>0.\\\ &\text{(a)}\quad h(x,y,z)=2x+y+4-2z=0 \quad(\text{interseção — curva}).\\\ &\text{(b)}\quad h(x,y,z)=2x+y+4-2z\ge 0 \quad(\text{metade fechada do lado da equação}). \end{aligned}çãçã
O que se pede:
  • (a) determinar máximo e mínimo de f sobre o conjunto definido pelas duas igualdades g=0 e h=0 com z>0.
  • (b) determinar máximo e mínimo de f sobre o conjunto definido por g=0,\\ z>0 e h\ge0.

Passo 2

Comentário sobre o método (sem nomear formalmente a matéria): quando buscamos extremos de f sujeitos a igualdades (restrições), usamos as equações que ligam os gradientes (método dos multiplicadores). Para o caso com uma restrição desigual (item (b)), os candidatos ao extremo são pontos interiores onde a desigualdade é estrita (podemos tratar só a restrição g=0) e pontos da fronteira onde h=0 (que reduzem ao caso da parte (a)). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Preparação: calculemos gradientes e escrevamos as equações de multiplicadores para o caso de duas restrições (item (a)). As derivadas parciais:
\begin{aligned} \nabla f &= \left(\,2,\;1,\;-2z\,\right),\\[4pt] \nabla g &= \left(\,8x,\;2y,\;-2z\,\right),\\[4pt] \nabla h &= \left(\,2,\;1,\;-2\,\right). \end{aligned}
No caso (a) procuramos \lambda,\mu tais que
\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h.
Isso gera o sistema (equações nas componentes):
\begin{cases} 2=8\lambda x + 2\mu,\\[4pt] 1=2\lambda y + \mu,\\[4pt] -2z = -2\lambda z -2\mu, \end{cases}
além das restrições
4x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0,\qquad 2x+y+4-2z=0,\qquad z>0.]

Passo 4

Manipulando as equações do sistema (a). Da terceira equação:
-2z = -2\lambda z -2\mu \;\Longrightarrow\; z = \lambda z + \mu.
Como z>0, podemos isolar \mu:
\mu = z(1-\lambda).
Das primeiras duas equações podemos também escrever:
\mu = 1-4\lambda x,\qquad \mu = 1-2\lambda y.
Igualando estas expressões de \mu obtemos relações entre x,y,z,\lambda. Primeiro compare as duas últimas:
1-4\lambda x = 1-2\lambda y \;\Longrightarrow\; -4\lambda x = -2\lambda y.
Se \lambda\neq 0 isto dá
2x = y.
Se \lambda=0 veremos esse caso à parte.

Passo 5

Assumindo \lambda\neq 0 e portanto y=2x, substituímos nas restrições:
\begin{aligned} &4x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0 \Rightarrow 4x^{2}+4x^{2}-z^{2}+1=0 \Rightarrow z^{2}=8x^{2}+1,\\[4pt] &2x+y+4=2z \Rightarrow 2x+2x+4=2z \Rightarrow z=2x+2. \end{aligned}
Agora igualamos z^{2} das duas expressões:
(2x+2)^{2}=8x^{2}+1.
Desenvolvendo:
4x^{2}+8x+4=8x^{2}+1 \;\Longrightarrow\; 4x^{2}-8x-3=0.
Esta é uma quadrática em x. Resolvendo:
x=\frac{8\pm\sqrt{64+48}}{8}=\frac{8\pm\sqrt{112}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{7}}{2}.]

Passo 6

Obtemos dois candidatos (substituímos y=2x,\\ z=2x+2):
Para x_{1}=\dfrac{2+\sqrt{7}}{2}:
y_{1}=2x_{1}=2+\sqrt{7},\qquad z_{1}=2x_{1}+2=4+\sqrt{7}.
Para x_{2}=\dfrac{2-\sqrt{7}}{2}:
y_{2}=2x_{2}=2-\sqrt{7},\qquad z_{2}=2x_{2}+2=4-\sqrt{7}.
Verificamos z_{1},z_{2}>0 (numéricamente z_{1}\approx 6{,}646,\\ z_{2}\approx 1{,}354), portanto ambos são admissíveis.

Passo 7

Calculemos f nesses pontos. Uma simplificação útil: com y=2x e z^{2}=8x^{2}+1 temos
f=2x+y-z^{2}=2x+2x-(8x^{2}+1)=4x-8x^{2}-1=-8x^{2}+4x-1.
Como as raízes x satisfazem 4x^{2}-8x-3=0, podemos reescrever x^{2}=\dfrac{8x+3}{4} e substituir para simplificar f. Mais direto, usando essa relação chegamos a
f=-12x-7.
Assim avaliando:
Para x_{1}=\dfrac{2+\sqrt{7}}{2}:
f_{1}=-12x_{1}-7=-12\cdot\frac{2+\sqrt{7}}{2}-7=-6(2+\sqrt{7})-7=-19-6\sqrt{7}.
Para x_{2}=\dfrac{2-\sqrt{7}}{2}:
f_{2}=-12x_{2}-7=-6(2-\sqrt{7})-7=-19+6\sqrt{7}.
Numericamente f_{1}\approx -34{,}875 e f_{2}\approx -3{,}125.

Passo 8

Ainda no item (a): precisamos checar o caso \lambda=0 que foi ignorado antes. Se \lambda=0 então das equações iniciais:
2=2\mu\Rightarrow \mu=1,\qquad 1=\mu\Rightarrow \mu=1 \\ (\text{coerente}),\qquad \text{e pela terceira } \mu=z.
Logo z=1. Inserindo nas restrições:
4x^{2}+y^{2}-1+1=0\Rightarrow 4x^{2}+y^{2}=0\Rightarrow x=0,y=0.
Mas na segunda restrição 2x+y+4=2z temos 4=2, contraditório. Logo \lambda=0 não gera solução. Assim os únicos candidatos na curva são os dois pontos já obtidos nos passos anteriores. Como a curva de interseção é compacta, estes dois são máximo e mínimo. Comparando os valores: f_{2}=-19+6\sqrt{7}>f_{1}=-19-6\sqrt{7}. Portanto:
  • máximo em (a): -19+6\sqrt{7} no ponto \left(\dfrac{2-\sqrt{7}}{2},\,2-\sqrt{7},\,4-\sqrt{7}\right).
  • mínimo em (a): -19-6\sqrt{7} no ponto \left(\dfrac{2+\sqrt{7}}{2},\,2+\sqrt{7},\,4+\sqrt{7}\right).

Passo 9

Agora item (b). O conjunto é a parte da folha superior do hiperbóide g=0 com a desigualdade h\ge0. Os candidatos a extremos são:
  • pontos interiores onde h>0 (então só a restrição g=0 importa) — para estes usamos multiplicador único \lambda com \nabla f=\lambda\nabla g;
  • pontos da fronteira onde h=0 — estes são exatamente os pontos do item (a), que já foram analisados.

Passo 10

Procuremos pontos interiores com \nabla f=\lambda\nabla g\). As equações são: \[\begin{cases} 2=8\lambda x,\\[4pt] 1=2\lambda y,\\[4pt] -2z = -2\lambda z, \end{cases}
com 4x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0\] e exigindo \(2x+y+4-2z>0 (estrita).
Da terceira equação obtemos z(1-\lambda)=0. Como z>0 segue \lambda=1. Substituindo \lambda=1 nas duas primeiras:
2=8x\Rightarrow x=\tfrac{1}{4},\qquad 1=2y\Rightarrow y=\tfrac{1}{2}.
Agora z pela restrição g:
z^{2}=4x^{2}+y^{2}+1=4\cdot\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1=\frac{3}{2},
logo z=\sqrt{\tfrac{3}{2}} (positiva, como requerido). Verificamos a desigualdade:
2x+y+4-2z = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+4-2\sqrt{\tfrac{3}{2}} =5-2\sqrt{\tfrac{3}{2}}>0,
pois 2\sqrt{3/2}\approx2{,}449<5. Então este ponto é interior e é candidato a extremo.]

Passo 11

Avaliação de f no ponto interior:
f\!\left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\sqrt{\tfrac{3}{2}}\right) =2\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}-\left(\tfrac{3}{2}\right) =\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Comparando com os valores da fronteira (obtidos no item (a)):
-19-6\sqrt{7}\approx -34{,}875,\qquad -19+6\sqrt{7}\approx -3{,}125,
vemos que -\tfrac{1}{2}>-3{,}125>-34{,}875. Como o conjunto do item (b) é fechado e limitado (a desigualdade define uma região limitada sobre a folha do hiperbóide), os extremos existem e devem estar entre os candidatos que já temos: o ponto interior e os dois pontos da fronteira. Assim:
  • máximo em (b): -\tfrac{1}{2} atingido em \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\sqrt{\tfrac{3}{2}}\right).
  • mínimo em (b): o menor entre os pontos da fronteira, isto é -19-6\sqrt{7}, no mesmo ponto da parte (a) que o produz.

Resposta

(a) máximo \; -19+6\sqrt{7} (em \left(\dfrac{2-\sqrt{7}}{2},\,2-\sqrt{7},\,4-\sqrt{7}\right))\n(a) mínimo \; -19-6\sqrt{7} (em \left(\dfrac{2+\sqrt{7}}{2},\,2+\sqrt{7},\,4+\sqrt{7}\right))\n(b) máximo \; -\dfrac{1}{2} (em \left(\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{2},\,\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right))\n(b) mínimo \; -19-6\sqrt{7} (em \left(\dfrac{2+\sqrt{7}}{2},\,2+\sqrt{7},\,4+\sqrt{7}\right))

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