Determine o valor máximo e o valor mínimo de f(x, y, z)=2 x+y-z^{2} em D, onde:
3.
a) D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0, z>0\right. e \left.2 x+y+4=2 z\right\}
b) D=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 4 x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0, z>0\right. e \left.2 x+y+4 \geq 2 z\right\}
Passo 1
O enunciado pede o valor máximo e o valor mínimo da função f(x,y,z)=2x+y-z^{2} em dois conjuntos D.
Lista das informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Para ambos os itens:}\quad g(x,y,z)=4x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0,\quad z>0.\\\ &\text{(a)}\quad h(x,y,z)=2x+y+4-2z=0 \quad(\text{interseção — curva}).\\\ &\text{(b)}\quad h(x,y,z)=2x+y+4-2z\ge 0 \quad(\text{metade fechada do lado da equação}). \end{aligned}
O que se pede:
(a) determinar máximo e mínimo de f sobre o conjunto definido pelas duas igualdades g=0 e h=0 com z>0.
(b) determinar máximo e mínimo de f sobre o conjunto definido por g=0,\\ z>0 e h\ge0.
Passo 2
Comentário sobre o método (sem nomear formalmente a matéria): quando buscamos extremos de f sujeitos a igualdades (restrições), usamos as equações que ligam os gradientes (método dos multiplicadores). Para o caso com uma restrição desigual (item (b)), os candidatos ao extremo são pontos interiores onde a desigualdade é estrita (podemos tratar só a restrição g=0) e pontos da fronteira onde h=0 (que reduzem ao caso da parte (a)). Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Preparação: calculemos gradientes e escrevamos as equações de multiplicadores para o caso de duas restrições (item (a)). As derivadas parciais:
\begin{aligned} \nabla f &= \left(\,2,\;1,\;-2z\,\right),\\[4pt] \nabla g &= \left(\,8x,\;2y,\;-2z\,\right),\\[4pt] \nabla h &= \left(\,2,\;1,\;-2\,\right). \end{aligned}
No caso (a) procuramos \lambda,\mu tais que
\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h.
Isso gera o sistema (equações nas componentes):
\begin{cases} 2=8\lambda x + 2\mu,\\[4pt] 1=2\lambda y + \mu,\\[4pt] -2z = -2\lambda z -2\mu, \end{cases}
Como as raízes x satisfazem 4x^{2}-8x-3=0, podemos reescrever x^{2}=\dfrac{8x+3}{4} e substituir para simplificar f. Mais direto, usando essa relação chegamos a
Mas na segunda restrição 2x+y+4=2z temos 4=2, contraditório. Logo \lambda=0 não gera solução. Assim os únicos candidatos na curva são os dois pontos já obtidos nos passos anteriores. Como a curva de interseção é compacta, estes dois são máximo e mínimo. Comparando os valores: f_{2}=-19+6\sqrt{7}>f_{1}=-19-6\sqrt{7}. Portanto:
máximo em (a): -19+6\sqrt{7} no ponto \left(\dfrac{2-\sqrt{7}}{2},\,2-\sqrt{7},\,4-\sqrt{7}\right).
mínimo em (a): -19-6\sqrt{7} no ponto \left(\dfrac{2+\sqrt{7}}{2},\,2+\sqrt{7},\,4+\sqrt{7}\right).
Passo 9
Agora item (b). O conjunto é a parte da folha superior do hiperbóide g=0 com a desigualdade h\ge0. Os candidatos a extremos são:
pontos interiores onde h>0 (então só a restrição g=0 importa) — para estes usamos multiplicador único \lambda com \nabla f=\lambda\nabla g;
pontos da fronteira onde h=0 — estes são exatamente os pontos do item (a), que já foram analisados.
Passo 10
Procuremos pontos interiores com \nabla f=\lambda\nabla g\). As equações são:
\[\begin{cases} 2=8\lambda x,\\[4pt] 1=2\lambda y,\\[4pt] -2z = -2\lambda z, \end{cases}
com 4x^{2}+y^{2}-z^{2}+1=0\] e exigindo \(2x+y+4-2z>0 (estrita).
Da terceira equação obtemos z(1-\lambda)=0. Como z>0 segue \lambda=1. Substituindo \lambda=1 nas duas primeiras:
vemos que -\tfrac{1}{2}>-3{,}125>-34{,}875. Como o conjunto do item (b) é fechado e limitado (a desigualdade define uma região limitada sobre a folha do hiperbóide), os extremos existem e devem estar entre os candidatos que já temos: o ponto interior e os dois pontos da fronteira. Assim:
máximo em (b): -\tfrac{1}{2} atingido em \left(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},\sqrt{\tfrac{3}{2}}\right).
mínimo em (b): o menor entre os pontos da fronteira, isto é -19-6\sqrt{7}, no mesmo ponto da parte (a) que o produz.
Resposta
(a) máximo \; -19+6\sqrt{7} (em \left(\dfrac{2-\sqrt{7}}{2},\,2-\sqrt{7},\,4-\sqrt{7}\right))\n(a) mínimo \; -19-6\sqrt{7} (em \left(\dfrac{2+\sqrt{7}}{2},\,2+\sqrt{7},\,4+\sqrt{7}\right))\n(b) máximo \; -\dfrac{1}{2} (em \left(\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{2},\,\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right))\n(b) mínimo \; -19-6\sqrt{7} (em \left(\dfrac{2+\sqrt{7}}{2},\,2+\sqrt{7},\,4+\sqrt{7}\right))