Cada problema desta seção admite solução; encontre-a e justifique sua existência.
3. Encontre os pontos da superfície x y z=8 mais próximos de (0,0,0).

Passo 1

O problema pede: encontrar os pontos da superfície x y z = 8 que estão mais próximos do ponto (0,0,0).
Informações dadas que vamos usar:
  • A superfície é descrita pela restrição \;x y z = 8\;.
  • O ponto de referência é \;(0,0,0)\;.
  • Procuramos minimizar a distância do ponto (x,y,z) na superfície até a origem.

Passo 2

Vamos trabalhar com a distância ao quadrado porque é mais simples calcular e tem o mesmo minimizador que a distância. Definimos a função a minimizar:
D(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2.
Explicação didática: a distância euclidiana é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Como a função raiz é estritamente crescente para argumentos não negativos, minimizar \sqrt{x^2+y^2+z^2} é equivalente a minimizar x^2+y^2+z^2. Trabalhar com quadrados evita raízes e simplifica contas.

Passo 3

Observação importante: não existe variável igual a zero, porque se qualquer uma de \;x,y,z\; fosse zero, o produto xyz seria zero, diferente de 8. Então \;x^2,y^2,z^2>0\; e podemos aplicar desigualdades que exigem números positivos.
Vamos aplicar a Desigualdade Aritmético–Geométrica (AM–GM) às três quantidades não negativas \;x^2,y^2,z^2\;. A AM–GM diz que, para números não negativos a,b,c,
\frac{a+b+c}{3} \ge (abc)^{1/3},
com igualdade se, e só se, a=b=c.
Aplicando com a=x^2,\;b=y^2,\;c=z^2, obtemos
\frac{x^2+y^2+z^2}{3} \ge (x^2 y^2 z^2)^{1/3}.
Agora simplificamos o lado direito usando a restrição \;xyz=8\;:
(x^2 y^2 z^2)^{1/3} = \big((xyz)^2\big)^{1/3} = (8^2)^{1/3} = 64^{1/3} = 4.
Portanto
\frac{x^2+y^2+z^2}{3} \ge 4 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2+z^2 \ge 12.
Isto mostra que a menor possível valor de D(x,y,z) é 12. Como AM–GM é uma desigualdade global, este é um limite inferior global para todos os pontos da superfície.

Passo 4

Agora achamos quando ocorre igualdade na AM–GM: ela ocorre exatamente quando
x^2 = y^2 = z^2.
Isto significa |x| = |y| = |z| = a para algum a>0. Usando a restrição \;xyz=8\;, obtemos
\pm a^3 = 8.
Como o lado direito é positivo, o sinal deve ser positivo, logo a^3 = 8 e portanto
a = 2.
Assim |x|=|y|=|z|=2.

Passo 5

Falta decidir os sinais de x,y,z. Como xyz=8>0, o produto dos sinais de x,y,z deve ser positivo. Então as possibilidades de sinais são:
  • todos positivos: (2,2,2);
  • exatamente duas componentes negativas e uma positiva: existem \binom{3}{2}=3 escolhas para quais duas são negativas.
Listando-as, obtemos os quatro pontos candidatos que satisfazem |x|=|y|=|z|=2 e xyz=8:
(2,2,2),\;(-2,-2,2),\;(-2,2,-2),\;(2,-2,-2).

Passo 6

Verificação final que são mínimos globais: pela etapa em que usamos AM–GM, demonstramos que para qualquer ponto da superfície x^2+y^2+z^2\ge 12, e mostramos que esses quatro pontos atingem exatamente x^2+y^2+z^2=12. Logo eles atingem a menor distância possível. A distância mínima (não ao quadrado) é \sqrt{12}=2\sqrt{3}.

Resposta

(2,2,2)
(-2,-2,2)
(-2,2,-2)
(2,-2,-2)

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