Cada problema desta seção admite solução; encontre-a e justifique sua existência.
3. Encontre os pontos da superfície
mais próximos de
.
3. Encontre os pontos da superfície
Passo 1
O problema pede: encontrar os pontos da superfície
que estão mais próximos do ponto
.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A superfície é descrita pela restrição
. - O ponto de referência é
. - Procuramos minimizar a distância do ponto
na superfície até a origem.
Passo 2
Vamos trabalhar com a distância ao quadrado porque é mais simples calcular e tem o mesmo minimizador que a distância. Definimos a função a minimizar:
Explicação didática: a distância euclidiana é
. Como a função raiz é estritamente crescente para argumentos não negativos, minimizar
é equivalente a minimizar
. Trabalhar com quadrados evita raízes e simplifica contas.
Passo 3
Observação importante: não existe variável igual a zero, porque se qualquer uma de
fosse zero, o produto
seria zero, diferente de
. Então
e podemos aplicar desigualdades que exigem números positivos.
Vamos aplicar a Desigualdade Aritmético–Geométrica (AM–GM) às três quantidades não negativas
. A AM–GM diz que, para números não negativos
,
com igualdade se, e só se,
.
Aplicando com
, obtemos
Agora simplificamos o lado direito usando a restrição
:
Portanto
Isto mostra que a menor possível valor de
é
. Como AM–GM é uma desigualdade global, este é um limite inferior global para todos os pontos da superfície.
Passo 4
Agora achamos quando ocorre igualdade na AM–GM: ela ocorre exatamente quando
Isto significa
para algum
. Usando a restrição
, obtemos
Como o lado direito é positivo, o sinal deve ser positivo, logo
e portanto
Assim
.
Passo 5
Falta decidir os sinais de
. Como
, o produto dos sinais de
deve ser positivo. Então as possibilidades de sinais são:
- todos positivos:
; - exatamente duas componentes negativas e uma positiva: existem
escolhas para quais duas são negativas.
Listando-as, obtemos os quatro pontos candidatos que satisfazem
e
:
Passo 6
Verificação final que são mínimos globais: pela etapa em que usamos AM–GM, demonstramos que para qualquer ponto da superfície
, e mostramos que esses quatro pontos atingem exatamente
. Logo eles atingem a menor distância possível. A distância mínima (não ao quadrado) é
.