Determine o valor máximo e o valor mínimo de f(x, y)=2 x^{2}+3 y^{2}-4 x-5 sobre o conjunto S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+2 y^{2} \leq 16\right\}.
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=2x^{2}+3y^{2}-4x-5 e o conjunto S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x^{2}+2y^{2}\le 16\}.
O que nos pedem: determinar o valor máximo e o valor mínimo de f sobre o conjunto S, ou seja, encontrar os pontos de S onde f atinge seu menor e seu maior valor e esses valores numéricos.
Passo 2
Observação útil (existência de extremos): o conjunto S é fechado e limitado (é um disco elíptico), e f é contínua (polinomial). Portanto f atinge máximo e mínimo em S. Vamos achar os candidatos: pontos críticos no interior de S e pontos da fronteira x^{2}+2y^{2}=16.
Passo 3
Procuro pontos críticos no interior resolvendo \nabla f=0. Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x-4,
\frac{\partial f}{\partial y}=6y.
Igualando a zero:
4x-4=0\quad\Rightarrow\quad x=1,
6y=0\quad\Rightarrow\quad y=0.
Logo há um ponto crítico em (1,0). Verifico se está no interior de S: 1^{2}+2\cdot 0^{2}=1\le 16,
portanto (1,0)\in S (de fato no interior).
Passo 4
Classificação do ponto crítico: calculo a matriz Hessiana de f:
Os autovalores são 4 e 6, ambos positivos, logo H é definida positiva e o ponto (1,0) é um mínimo local. Como f é quadrática com forma quadrática positiva, esse mínimo é global em \mathbb{R}^{2} e portanto também é mínimo absoluto em S.]
Para obter o máximo em S (uma vez que o mínimo já aconteceu no interior), bastará analisar a fronteira \{(x,y):x^{2}+2y^{2}=16\}. Uso multiplicadores de Lagrange: defino g(x,y)=x^{2}+2y^{2} e procuro \nabla f=\lambda \nabla g com a condição g(x,y)=16. As equações são
4x-4= \lambda\cdot 2x,
6y= \lambda\cdot 4y,
x^{2}+2y^{2}=16.
Passo 7
Resolvo as equações de Lagrange por casos.
Caso A: y=0. Então a restrição dá x^{2}=16, ou seja x=\pm 4. Assim duas possibilidades na fronteira: (4,0) e (-4,0). (A equação em x ainda é consistente — podemos determinar \lambda mas não é necessário para avaliar f.)
Caso B: y\neq 0. Então das equações temos, dividindo por y,
Como S é compacto e examinamos todos os candidatos (ponto crítico interior e pontos críticos da fronteira por Lagrange), concluímos que o mínimo em S é -7 em (1,0) e o máximo em S é 43 em (-4,0).