Use o teorema de Green para calcular
. Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.
é o triângulo de
a
a
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
para o campo
em torno da curva
que é o triângulo com vértices
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
A orientação da curva é dada pela sequência dos vértices
— precisamos verificar se essa orientação é positiva (anti-horária) ou negativa (horária) antes de aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Verificação da orientação de
. Vou usar o critério do sinal da área pelo método de sacolinha (shoelace) para a ordem dos vértices
,
,
. O valor duplo da área orientada é
onde se toma
. Calculando:
Logo a área orientada é
, negativa. Portanto a curva
dada está orientada no sentido horário (negativo). Como o Teorema de Green exige orientação positiva (anti-horária), quando aplicarmos Green teremos que trocar de sinal: a integral de linha na orientação dada é o negativo da integral dada por Green com orientação positiva.
Passo 3
Enunciado do Teorema de Green (explicação didática): para um campo de classe adequada
e uma curva fechada
positivamente orientada que delimita uma região
,
Aqui
é a componente
do campo,
a componente
. A ideia é transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a área interior, integrando a “vorticidade local”
. Vou aplicar isso ao nosso caso, lembrando de pôr o sinal negativo no fim porque
está orientado no sentido horário.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais necessárias:
pois
não depende de
. Assim o integrando do Teorema de Green é
Passo 5
Descrever a região
(o triângulo) e escolher limites de integração. A hipotenusa do triângulo é a reta que liga
a
, cuja equação é
. Portanto a região
pode ser descrita por
Usando integração iterada com
interno, a integral dupla (para orientação positiva) é
Passo 6
Calcular a integral interna em
(é simples porque o integrando não depende de
):
Logo
Agora vou separar a integral em duas partes para facilitar a antiderivação:
Passo 7
Calcular cada parcela:
- Para a primeira,
- Para a segunda, use a substituição
, , logo . Assim
Portanto
Passo 8
Relacionar com a orientação dada.
é o valor da integral de linha quando
tem orientação positiva (anti-horária). Como verificamos no Passo 2 a curva
dada está orientada no sentido horário, o valor pedido pelo enunciado (na orientação dada) é o negativo de
. Logo