\{1,0\} Sabendo que a sequència de termo geral a_{k}=\frac{k^{3}}{k^{4}+3}, com k \geqslant 2, é decrescente, mostre que a série
\sum_{k=2}^{+\infty}(-1)^{k} \frac{k^{3}}{k^{4}+3}
é convergente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência termo geral \,a_{k}=\dfrac{k^{3}}{k^{4}+3}\, para k\ge 2 e afirma que essa sequência é decrescente. Pede-se para mostrar que a série
\sum_{k=2}^{+\infty}(-1)^{k}\frac{k^{3}}{k^{4}+3}
é convergente.
Informações relevantes que temos:
\text{(i)}\quad\text{os sinais dos termos alternam por causa de }(-1)^k;
\text{(ii)}\quad\text{os valores absolutos dos termos são }b_k:=\frac{k^{3}}{k^{4}+3}>0;ã
\text{(iii)}\quad\{b_k\}_{k\ge 2}\text{ é decrescente (dado do enunciado).}é
A parte que falta verificar, para aplicar um teste de convergência para séries alternadas, é o comportamento de \,b_k quando k\to\infty.

Passo 2

Definimos explicitamente os módulos dos termos:
b_k:=\left|(-1)^k\frac{k^{3}}{k^{4}+3}\right|=\frac{k^{3}}{k^{4}+3}.
Primeiro ponto simples: para todo k\ge 2 temos k^{3}>0 e k^{4}+3>0, então b_k>0. Isso garante que os b_k são positivas, uma condição necessária em muitos testes para séries alternadas.

Passo 3

Mostramos que \,b_k\to 0 quando k\to\infty.
Cálculo do limite: divido numerador e denominador por k^{4}:
\frac{k^{3}}{k^{4}+3}=\frac{\dfrac{k^{3}}{k^{4}}}{\dfrac{k^{4}}{k^{4}}+\dfrac{3}{k^{4}}}=\frac{\dfrac{1}{k}}{1+\dfrac{3}{k^{4}}}.
Agora, quando k\to\infty temos \dfrac{1}{k}\to 0 e \dfrac{3}{k^{4}}\to 0, portanto
\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}}{k^{4}+3}=\frac{0}{1+0}=0.
Intuição curta: numerador é de ordem k^{3} e denominador de ordem k^{4}, então a razão decai como 1/k e tende a zero.

Passo 4

Apresento o teste que vou usar (forma didática): seja uma série do tipo
\sum_{k=K}^{\infty} (-1)^k b_k,
com b_k\ge 0. Se as três condições abaixo forem verdadeiras:
  1. b_k é monotonicamente decrescente a partir de algum índice K;
  2. \lim_{k\to\infty} b_k = 0;
  3. (os sinais alternam, já verificado),
    então a série converge. Este resultado é conhecido como critério de Leibniz para séries alternadas. A ideia intuitiva é que os termos positivos e negativos vão “se cancelando” cada vez mais porque o tamanho dos termos diminui e tende a zero.

Passo 5

Aplicando o critério de Leibniz ao nosso caso:
  • já temos que os sinais alternam por causa de (-1)^k;
  • o enunciado nos deu que \{b_k\} é decrescente para k\ge 2;
  • do Passo 3 temos \lim_{k\to\infty} b_k = 0.
Portanto todas as hipóteses do critério de Leibniz estão satisfeitas, logo a série
\sum_{k=2}^{+\infty}(-1)^{k}\frac{k^{3}}{k^{4}+3}
converge.

Passo 6

Complemento importante (útil na prova): a convergência acima é condicional, isto é, a série não converge absolutamente. Vou mostrar que a série das magnitudes diverge:
\sum_{k=2}^{\infty} b_k=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k^{3}}{k^{4}+3}.
Para k\ge 1 vale k^{4}+3\le 4k^{4} (porque 3\le 3k^{4} quando k\ge 1), então
\frac{k^{3}}{k^{4}+3}\ge \frac{k^{3}}{4k^{4}}=\frac{1}{4k}.
Assim, para k\ge 2 também se tem b_k\ge \dfrac{1}{4k}. Como a série harmônica \sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k} diverge, pelo teste da comparação (termos não negativos), a série \sum b_k também diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente, apenas condicionalmente convergente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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