Determine e o valor máximo, o valor mínimo e a imagem, das seguintes funções.
f(x)=-x^{2}-2 x+1

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=-x^{2}-2x+1.
As perguntas são: determinar o valor máximo de f, o valor mínimo de f e a imagem (conjunto de valores y que f assume).
Informações relevantes extraídas do enunciado: os coeficientes da função quadrática são a=-1, b=-2 e c=1.

Passo 2

Vou usar o método da “completação do quadrado” para reescrever f(x) em uma forma que deixa explícito o valor máximo ou mínimo (isso não usa cálculo e funciona bem em prova). Aqui vai uma mini-aula sobre esse método, passo a passo, bem mastigado:
  • Uma função quadrática tem a forma geral ax^{2}+bx+c. Reescrever essa expressão como a(x-h)^{2}+k permite identificar imediatamente um valor especial: o ponto (h,k) é o vértice da parábola. Se a>0, a parábola abre para cima e k é o mínimo; se a<0, abre para baixo e k é o máximo.
  • Para completar o quadrado, fatoramos a dos termos quadrático e linear, criamos um quadrado perfeito dentro do parêntese e ajustamos subtraindo/ somando o que for necessário. Vou aplicar isso diretamente na função dada.

Passo 3

Reescrevendo f(x)=-x^{2}-2x+1 e completando o quadrado:
f(x) = -x^{2}-2x+1
Primeiro fatoramos o sinal de -1 dos dois primeiros termos (os termos que envolvem x):
f(x) = -\bigl(x^{2}+2x\bigr) + 1
Agora dentro do parêntese transformamos x^{2}+2x em um quadrado perfeito. Lembre que para x^{2}+2x o termo que completa o quadrado é \left(\dfrac{2}{2}\right)^{2}=1. Então:
x^{2}+2x = (x^{2}+2x+1) - 1 = (x+1)^{2} - 1
Substituindo isso em f(x):
f(x) = -\bigl((x+1)^{2} - 1\bigr) + 1
Distribuindo o -:
f(x) = -(x+1)^{2} + 1 + 1
f(x) = -(x+1)^{2} + 2
Portanto a forma canônica (vértice) é:
f(x) = -(x+1)^{2} + 2

Passo 4

Interpretação da forma canônica:
  • A expressão está em f(x)=a(x-h)^{2}+k com a=-1, h=-1 e k=2. O vértice é (h,k)=(-1,2).
  • Como a=-1<0, a parábola abre para baixo. Isso significa que o vértice é um ponto de máximo (o valor de f ali é o maior que a função atinge).
  • O valor máximo de f é o ordenado do vértice, isto é 2, e ocorre em x=-1.
  • Como a parábola abre para baixo, não existe valor mínimo finito — conforme x vai para +\infty ou -\infty, o termo -(x+1)^{2} tende para -\infty, então f(x) tende para -\infty. Assim a função não tem mínimo; a imagem é todos os números menores ou iguais a 2.

Passo 5

Verificação rápida usando derivada (opcional, só para confirmar):
Calcule f'(x):
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-x^{2}-2x+1\bigr) = -2x-2
Zerando a derivada:
-2x-2=0 \implies x=-1.
Segundo derivada:
f''(x) = -2 < 0,
o que confirma que x=-1 é ponto de máximo. O valor máximo é f(-1)=2. Isso confirma o resultado obtido por completação do quadrado.

Passo 6

Conclusões finais em palavras simples e motivadoras: a função atinge seu valor máximo 2 no ponto x=-1. Não existe valor mínimo finito porque a função tende a -\infty nas extremidades. A imagem é, portanto, o intervalo de todos os números menores ou iguais a 2.

Resposta

Valor máximo: 2 (ocorre em x=-1)
Valor mínimo: não existe (a função não tem mínimo)
Imagem: (-\infty,2]

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