Determine e o valor máximo, o valor mínimo e a imagem, das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
.
As perguntas são: determinar o valor máximo de , o valor mínimo de
e a imagem (conjunto de valores
que
assume).
Informações relevantes extraídas do enunciado: os coeficientes da função quadrática são ,
e
.
As perguntas são: determinar o valor máximo de
Informações relevantes extraídas do enunciado: os coeficientes da função quadrática são
Passo 2
Vou usar o método da “completação do quadrado” para reescrever
em uma forma que deixa explícito o valor máximo ou mínimo (isso não usa cálculo e funciona bem em prova). Aqui vai uma mini-aula sobre esse método, passo a passo, bem mastigado:
- Uma função quadrática tem a forma geral
. Reescrever essa expressão como permite identificar imediatamente um valor especial: o ponto é o vértice da parábola. Se , a parábola abre para cima e é o mínimo; se , abre para baixo e é o máximo. - Para completar o quadrado, fatoramos
dos termos quadrático e linear, criamos um quadrado perfeito dentro do parêntese e ajustamos subtraindo/ somando o que for necessário. Vou aplicar isso diretamente na função dada.
Passo 3
Reescrevendo
e completando o quadrado:
Primeiro fatoramos o sinal de
dos dois primeiros termos (os termos que envolvem
):
Agora dentro do parêntese transformamos
em um quadrado perfeito. Lembre que para
o termo que completa o quadrado é
. Então:
Substituindo isso em
:
Distribuindo o
:
Portanto a forma canônica (vértice) é:
Passo 4
Interpretação da forma canônica:
- A expressão está em
com , e . O vértice é . - Como
, a parábola abre para baixo. Isso significa que o vértice é um ponto de máximo (o valor de ali é o maior que a função atinge). - O valor máximo de
é o ordenado do vértice, isto é , e ocorre em . - Como a parábola abre para baixo, não existe valor mínimo finito — conforme
vai para ou , o termo tende para , então tende para . Assim a função não tem mínimo; a imagem é todos os números menores ou iguais a .
Passo 5
Verificação rápida usando derivada (opcional, só para confirmar):
Calcule :
Calcule
Zerando a derivada:
Segundo derivada:
o que confirma que
é ponto de máximo. O valor máximo é
. Isso confirma o resultado obtido por completação do quadrado.
Passo 6
Conclusões finais em palavras simples e motivadoras: a função atinge seu valor máximo
no ponto
. Não existe valor mínimo finito porque a função tende a
nas extremidades. A imagem é, portanto, o intervalo de todos os números menores ou iguais a
.
Resposta
Valor máximo:
(ocorre em
)
Valor mínimo: não existe (a função não tem mínimo)
Imagem:
Valor mínimo: não existe (a função não tem mínimo)
Imagem: