Determine o valor médio de f nos intervalos dados ( z \in R é um valor médio de f , se \int_{a}^{b} f(x) d x=f(z)(b-a) : f(x)=x^{2} no intervalo [0,3]. Faça a representação geométrica dessa situação usando área.
Passo 1
O enunciado dá:
A função f(x)=x^{2}.
O intervalo [0,3].
A definição usada: z\in\mathbb{R} é um valor médio de f se
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f(z)\,(b-a).
Perguntas que precisamos responder:
Qual é o valor médio (altura média) de f no intervalo [0,3]?
Qual é o ponto z\in[0,3] que atende à condição dada?
Fazer a representação geométrica usando área (mostrar que a área sob f em [0,3] é igual à área de um retângulo de base 3 e altura igual ao valor médio).
Passo 2
Conceito e fórmula do valor médio (explicação didática):\n
Quando falamos em “valor médio” de uma função em um intervalo [a,b], estamos procurando uma altura constante (um número) tal que a área do retângulo de base (b-a) e essa altura seja igual à área sob a curva y=f(x) entre x=a e x=b. Matematicamente, o valor médio M da função em [a,b] é
M=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui (b-a) é a largura do intervalo e \int_{a}^{b} f(x)\,dx é a área sob a curva. Dividir a área pela largura dá a “altura média”. Isso corresponde exatamente à definição do enunciado porque, se M=f(z), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f(z)\,(b-a).
Passo 3
Calcular a integral \int_{0}^{3} x^{2}\,dx (explicando a primitiva e o Teorema Fundamental do Cálculo):\n
A primitiva (antiderivada) de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, porque derivando \dfrac{x^{3}}{3} obtemos x^{2}. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é a diferença das primitivas nos extremos:
Calcular o valor médio M usando a fórmula (passo a passo):\n
Aplicando
M=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx
com a=0, b=3 e \int_{0}^{3} x^{2}\,dx=9, temos
M=\frac{1}{3-0}\cdot 9 = \frac{9}{3} = 3.
Interpretação: a “altura média” da função x^{2} no intervalo [0,3] é 3. Geometricamente, a área sob y=x^{2} em [0,3] (que é 9) é igual à área do retângulo de base 3 e altura 3 (que também é 9).
Passo 5
Encontrar o ponto z\in[0,3] tal que f(z)=M (explicando existência e resolução):\n
Queremos z com f(z)=z^{2}=3. Resolvendo:
z^{2}=3 \implies z=\pm\sqrt{3}.
Como o enunciado pede z (e normalmente se exige z\in[a,b]), escolhemos o z que está no intervalo [0,3], ou seja
z=\sqrt{3}\quad(\text{aprox. }1{,}732).
Observação de existência: f é contínua em [0,3], f(0)=0 e f(3)=9, e o valor médio 3 está entre 0 e 9; pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um z\in[0,3] com f(z)=3, que é exatamente z=\sqrt{3}.
Passo 6
Representação geométrica usando área (descrição concreta que você pode desenhar na prova):\n
Desenhe o gráfico de y=x^{2} para x de 0 a 3.\n
A área sob a curva até x=3 é a integral que calculamos e vale 9.\n
Desenhe o retângulo com base de x=0 a x=3 (largura 3) e altura y=3 (a altura média). A área desse retângulo é 3\cdot 3=9.\n
A linha horizontal y=3 intercepta a parábola y=x^{2} em x=\sqrt{3}. Assim o retângulo de altura 3 tem exatamente a mesma área da região abaixo da parábola em [0,3]. Isso ilustra geometricamente a igualdade
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = 3\cdot(3-0).
Resposta
Valor médio (altura média) de f em [0,3]: 3\n
Ponto z\in[0,3] tal que \int_{0}^{3} f(x)\,dx = f(z)(3-0): \sqrt{3}