Determine o valor médio de
nos intervalos dados (
é um valor médio de f , se
:
no intervalo
;
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre um valor médio
de
no intervalo
, onde a definição dada é:
é um valor médio de
se
Dados fornecidos:
Não vamos resolver ainda — apenas listei o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Interpretação e fórmula útil (aula curta): a igualdade da definição pode ser escrita isolando
. Se
então, desde que
,
O lado direito é o valor médio (a média aritmética contínua) de
no intervalo
. Assim, para achar
nós:
- calculamos a integral
; - dividimos pelo comprimento do intervalo
para obter o valor médio ; - resolvemos
(valor médio) para encontrar .
Passo 3
Cálculo da integral. Primeiro achamos uma primitiva de
. Como
, usamos a regra básica
Aqui
, então
Multiplicando por
, uma primitiva de
é
Agora avaliamos a integral definida:
Calcule cada termo:
Portanto
Passo 4
Cálculo do valor médio
. O comprimento do intervalo é
Logo o valor médio é
Ou seja, a média da função no intervalo é
.
Passo 5
Encontrar
tal que
. Escrevemos a equação:
Isolando
:
Invertendo e passando ao cubo para obter
:
Tomando a raiz cúbica (única real raiz cúbica):
Como
, podemos simplificar:
Verificação rápida: esse valor está entre
e
, logo é um
válido no intervalo pedido.
Resposta
Valor médio:
\