Determine o valor médio de f nos intervalos dados ( z \in R é um valor médio de f , se \int_{a}^{b} f(x) d x=f(z)(b-a) :
f(x)=8 . x^{-3} no intervalo [-2,-1];

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre um valor médio z\in\mathbb{R} de f no intervalo [-2,-1], onde a definição dada é: z é um valor médio de f se
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f(z)(b-a).
Dados fornecidos:
f(x)=8\cdot x^{-3}, \qquad \text{o intervalo }[a,b]=[-2,-1].
Não vamos resolver ainda — apenas listei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Interpretação e fórmula útil (aula curta): a igualdade da definição pode ser escrita isolando f(z). Se
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = f(z)(b-a),
então, desde que b\neq a,
f(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
O lado direito é o valor médio (a média aritmética contínua) de f no intervalo [a,b]. Assim, para achar z nós:
  1. calculamos a integral \int_{-2}^{-1} f(x)\,dx;
  2. dividimos pelo comprimento do intervalo b-a para obter o valor médio f(z);
  3. resolvemos f(z)= (valor médio) para encontrar z.

Passo 3

Cálculo da integral. Primeiro achamos uma primitiva de f. Como f(x)=8x^{-3}, usamos a regra básica
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Aqui n=-3, então
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}.
Multiplicando por 8, uma primitiva de f é
F(x)=8\left(-\tfrac{1}{2}x^{-2}\right)=-4x^{-2}=-\frac{4}{x^{2}}.
Agora avaliamos a integral definida:
\int_{-2}^{-1} 8x^{-3}\,dx = F(-1)-F(-2).
Calcule cada termo:
F(-1)=-\frac{4}{(-1)^{2}}=-\frac{4}{1}=-4,
F(-2)=-\frac{4}{(-2)^{2}}=-\frac{4}{4}=-1.
Portanto
\int_{-2}^{-1}8x^{-3}\,dx = -4 - (-1) = -3.

Passo 4

Cálculo do valor médio f(z). O comprimento do intervalo é
b-a = (-1)-(-2)=1.
Logo o valor médio é
f(z)=\frac{1}{b-a}\int_{-2}^{-1} f(x)\,dx = \frac{1}{1}\cdot(-3) = -3.
Ou seja, a média da função no intervalo é -3.

Passo 5

Encontrar z tal que f(z)= -3. Escrevemos a equação:
8z^{-3} = -3.
Isolando z^{-3}:
z^{-3} = -\frac{3}{8}.
Invertendo e passando ao cubo para obter z:
z^{3} = -\frac{8}{3}.
Tomando a raiz cúbica (única real raiz cúbica):
z = \sqrt[3]{-\frac{8}{3}} = -\sqrt[3]{\frac{8}{3}}.
Como \sqrt[3]{8}=2, podemos simplificar:
z = -\frac{2}{\sqrt[3]{3}}.
Verificação rápida: esse valor está entre -2 e -1, logo é um z válido no intervalo pedido.

Resposta

Valor médio: -3 \
z = -\dfrac{2}{\sqrt[3]{3}}

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