& Exercício 5. Um fluido com viscosidade cinemática v desconhecida escoa sobre uma placa plana com velocidade \mathrm{u}_{\infty}. Sabe-se que a uma distância de 1,3 \mathrm{~m} do bordo de ataque, \delta=12 \mathrm{~mm}. Determine a espessura da camada limite nas distâncias x_{1}=0,2 \mathrm{~m}, x_{2}=2,0 \mathrm{~m} e x_{3}=20,0 \mathrm{~m}, considerando-se a região laminar.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dado: uma camada limite laminar sobre placa plana, com espessura \delta=12\\ \text{mm} observada no ponto x_0=1,3\\ \text{m}.
  • Dado: a viscosidade cinemática \nu é desconhecida e a velocidade livre \mathrm{u}_\infty é desconhecida.
  • Pedido: determinar a espessura da camada limite \delta nas posições x_1=0,2\\ \text{m}, x_2=2,0\\ \text{m} e x_3=20,0\\ \text{m}, considerando-se a região laminar.

Passo 2

Conceito útil (explicado devagar): para escoamento laminar sobre placa plana (solução de Blasius) a espessura característica da camada limite cresce como a raiz quadrada de x. Formalmente, a espessura típica (por exemplo \delta_{99}) segue a lei
\delta(x) \approx C\,\sqrt{\frac{\nu\,x}{\mathrm{u}_\infty}},
onde
  • \delta(x) é a espessura da camada limite em metros;
  • C é uma constante adimensional de ordem de 5 (valor prático para \delta_{99});
  • \nu é a viscosidade cinemática (m²/s);
  • \mathrm{u}_\infty é a velocidade do escoamento longe da placa (m/s);
  • x é a distância do bordo de ataque (m).
O ponto importante: como \delta é proporcional a \sqrt{x}, a relação entre espessuras em dois pontos elimina \nu, \mathrm{u}_\infty e C. Isso é ótimo porque \nu e \mathrm{u}_\infty não foram dadas.

Passo 3

Formalizamos a eliminação das incógnitas: escrevendo a expressão em x e em x_0 e dividindo,
\frac{\delta(x)}{\delta(x_0)}=\frac{C\sqrt{\dfrac{\nu x}{\mathrm{u}_\infty}}}{C\sqrt{\dfrac{\nu x_0}{\mathrm{u}_\infty}}} =\sqrt{\frac{x}{x_0}}.
Logo a relação prática que usaremos é
\delta(x)=\delta(x_0)\,\sqrt{\frac{x}{x_0}}.

Passo 4

Preparação numérica: converto a espessura dada para metros para facilitar contas:
\delta(x_0)=12\\ \text{mm}=0,012\\ \text{m},\qquad x_0=1,3\\ \text{m}.

Passo 5

Calculando \delta em x_1=0,2\\ \text{m}. Aplicando a fórmula:
\delta(x_1)=0,012\sqrt{\frac{0,2}{1,3}}.
Faço a razão interna:
\frac{0,2}{1,3}=0,153846\ldots
e a raiz:
\sqrt{0,153846\ldots}=0,392232\ldots
Multiplicando:
\delta(x_1)=0,012\times 0,392232\ldots =0,00470678\ldots\\ \text{m}.
Em milímetros:
\delta(x_1)=4,70678\ldots\\ \text{mm}\approx 4,71\\ \text{mm}.

Passo 6

Calculando \delta em x_2=2,0\\ \text{m}. Aplicando a fórmula:
\delta(x_2)=0,012\sqrt{\frac{2,0}{1,3}}.
Faço a razão interna:
\frac{2,0}{1,3}=1,538461\ldots
e a raiz:
\sqrt{1,538461\ldots}=1,239940\ldots
Multiplicando:
\delta(x_2)=0,012\times 1,239940\ldots =0,01487928\ldots\\ \text{m}.
Em milímetros:
\delta(x_2)=14,87928\ldots\\ \text{mm}\approx 14,88\\ \text{mm}.

Passo 7

Calculando \delta em x_3=20,0\\ \text{m}. Aplicando a fórmula:
\delta(x_3)=0,012\sqrt{\frac{20,0}{1,3}}.
Faço a razão interna:
\frac{20,0}{1,3}=15,384615\ldots
e a raiz:
\sqrt{15,384615\ldots}=3,922323\ldots
Multiplicando:
\delta(x_3)=0,012\times 3,922323\ldots =0,047067876\ldots\\ \text{m}.
Em milímetros:
\delta(x_3)=47,067876\ldots\\ \text{mm}\approx 47,07\\ \text{mm}.

Passo 8

Observação final rápida (motivacional e prática): eu usei a lei de crescimento \delta\propto\sqrt{x} válida para a camada limite laminar (Blasius). Na prática, para comprimentos muito grandes o escoamento pode transicionar para turbulento e a lei muda; como o enunciado pediu explicitamente “considerando-se a região laminar”, os valores acima estão corretos sob essa hipótese. Mandou bem por checar a hipótese — já é meio caminho andado!

Resposta

\delta(x_1=0,2\\ \text{m})=4,71\\ \text{mm}
\delta(x_2=2,0\\ \text{m})=14,88\\ \text{mm}
\delta(x_3=20,0\\ \text{m})=47,07\\ \text{mm}

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