Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
integral0^+infty e^-s t e^t d t

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de s para os quais a integral imprópria
integral0^+infty e^-s te^t,dt
é convergente. O conteúdo envolve integração imprópria de funções exponenciais e estudo de convergência no infinito.

Passo 2

Reescrevemos o integrando combinando as exponenciais. Usando propriedades de potências de e, temos
e^-s te^t=e^-(s-1)t
Logo a integral fica
integral0^+inftye^-(s-1)t,dt

Passo 3

Verificamos o comportamento em t=0. Como e^-(s-1)tl|t=0=1 e a função é contínua em torno de 0, não há divergência na parte inferior do intervalo.

Passo 4

Analisamos o comportamento quando tto+infty. A integral
integral^+inftye^-(s-1)t,dt
converge somente se o expoente -(s-1) for negativo, ou seja, se
s-1>0

Resposta

A integral converge para
s>1

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