Questão 3 (2 pontos) 1,0/
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o volume de uma esfera de raio r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio r usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é integração tripla em coordenadas esféricas, onde precisamos usar o jacobiano dessa transformação para converter o elemento de volume cartesiano em rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as variáveis rho>=0 (distância à origem), phiin[0,pi] (ângulo polar) e thetain[0,2pi] (ângulo azimutal). O elemento de volume é dado por
dV = rho^2 sinphi ,drho,dphi,dtheta
A região que descreve a esfera de raio r é
0 <= rho <= r, 0 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

O volume V da esfera é então
V = integral0^2pi!integral0^pi!integral0^r rho^2 ,sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^r rho^2 ,drho = [rho^33]0^r = r^33
Assim resta
V = integral0^2pi!integral0^pi r^33,sinphi ,dphi,dtheta

Passo 5

Agora integramos em phi:
integral0^pi sinphi ,dphi = l[-cosphir]0^pi = 2
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V = integral0^2pi r^33cdot 2 ,dtheta = 2r^33integral0^2pi dtheta

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi,
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V = 2r^33cdot 2pi = 4pi r^33

Resposta

V = 43,pi,r^3

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