Questão 3 (2 pontos) 1,0/
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o volume de uma esfera de raio
.
Utilizando coordenadas esféricas, calcule o volume de uma esfera de raio
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio
usando coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é integração tripla em coordenadas esféricas, onde precisamos usar o jacobiano dessa transformação para converter o elemento de volume cartesiano em
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos as variáveis
(distância à origem),
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal). O elemento de volume é dado por
A região que descreve a esfera de raio
é
Passo 3
O volume
da esfera é então
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Assim resta
Passo 5
Agora integramos em
:
Logo
Passo 6
Por fim, integramos em
:
logo