Utilizando o Teorema das sequências monótonas, verifique que as sequências abaixo são convergentes.
n3^n+1

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema das sequências monótonas (que diz que toda sequência monotona e limitada converge) na sequência
an = n3^,n+1
Vamos então (i) mostrar que an é decrescente e (ii) que é limitada inferiormente, e por fim (iii) encontrar seu limite.

Passo 2

Mostramos que an+1<an para todo n>=1. Observe:
an+1 = n+13^,n+2, an = n3^,n+1,
então
an+1an = n+13^,n+2n3^,n+1 = n+13n = 13+13n
Para n>=1 temos 13+13n<1, logo an+1<an. Assim an é estritamente decrescente.

Passo 3

Cada termo an é positivo, pois n>0 e 3^,n+1>0. Logo
an > 0 para todo n,
isto é, an é limitada inferiormente por 0.

Passo 4

Como an é decrescente e limitada inferiormente, o Teorema das sequências monótonas garante que ela converge.

Passo 5

Para achar o limite L=limntoinftyan, note que o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce só linearmente. Mais formalmente, como
an+1anto13<1,
os termos obrigatoriamente tendem a zero. Logo
L = limntoinftyn3^,n+1 = 0

Resposta

A sequência n3^,n+1 é monótona decrescente, limitada inferiormente e, portanto, converge.
O seu limite é 0.

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