Utilizando o Teorema das sequências monótonas, verifique que as sequências abaixo são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema das sequências monótonas (que diz que toda sequência monotona e limitada converge) na sequência
Vamos então (i) mostrar que
é decrescente e (ii) que é limitada inferiormente, e por fim (iii) encontrar seu limite.
Passo 2
Mostramos que
para todo
. Observe:
então
Para
temos
, logo
. Assim
é estritamente decrescente.
Passo 3
Cada termo
é positivo, pois
e
. Logo
isto é,
é limitada inferiormente por
.
Passo 4
Como
é decrescente e limitada inferiormente, o Teorema das sequências monótonas garante que ela converge.
Passo 5
Para achar o limite
, note que o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce só linearmente. Mais formalmente, como
os termos obrigatoriamente tendem a zero. Logo
Resposta
A sequência
é monótona decrescente, limitada inferiormente e, portanto, converge.
O seu limite é .
O seu limite é