Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para descobrir para quais valores de a integral imprópria
é convergente.
Conteúdo: testes de convergência de integrais impróprias (comportamento em e ).
Passo 2
Analisamos a vizinhança de . Como quando e , o integrando se comporta como
que é integrável em . Logo não há restrição em vinda de .
Passo 3
Agora examinamos o comportamento quando . Note que
A integral integralA^inftye^-s t,dt converge exatamente quando s>0. Pelo teste da comparação, se s>0 então integral0^inftye^-s tsin t,dt converge absolutamente.
Se s<=0, e^-s t não tende a zero (ou cresce), e a integral diverge por falta de decaimento no infinito.