Determine o valor de s tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
integral0^infty e^-s t sen(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para descobrir para quais valores de s a integral imprópria
integral0^inftye^-s tsin t,dt
é convergente.
Conteúdo: testes de convergência de integrais impróprias (comportamento em tto0^+ e tto+infty).

Passo 2

Analisamos a vizinhança de t=0. Como
sin tsim t quando tto0 e e^-s tto1, o integrando se comporta como
e^-s tsin tsim t,
que é integrável em 0. Logo não há restrição em s vinda de t=0.

Passo 3

Agora examinamos o comportamento quando tto+infty. Note que
l|e^-s tsin tr|<= e^-s t
A integral integralA^inftye^-s t,dt converge exatamente quando s>0. Pelo teste da comparação, se s>0 então
integral0^inftye^-s tsin t,dt converge absolutamente.
Se s<=0, e^-s t não tende a zero (ou cresce), e a integral diverge por falta de decaimento no infinito.

Resposta

A integral converge se, e somente se, s>0.

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