Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo transverso e conjugado. Determine os vértices, focos, as extremidades dos eixos conjugados e equações das assíntotas das hipérboles. Faço o gráfico da hipérbole.
y^2-x^2=16

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y^2-x^2=16
que é uma hipérbole centrada em (0,0). Como o termo positivo é y^2, os focos e o eixo transverso ficam no eixo y. Vamos usar geometria analítica de cônicas: reescrever na forma padrão, identificar a, b, c, etc., e daí obter todos os elementos pedidos.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo tudo por 16:
y^216-x^216=1
Dessa forma vemos que
a^2=16, b^2=16,
logo
a=4, b=4
O sinal positivo em y^2 confirma que a hipérbole tem eixo transverso vertical.

Passo 3

Os vértices ficam no centro acrescido ou diminuído de a ao longo do eixo transverso (eixo y):
(0,pm a)=(0,pm4)
O comprimento do eixo transverso é
2a=8

Passo 4

A distância do centro a cada foco satisfaz
c^2=a^2+b^2=16+16=32,
portanto
c=4raiz2
Os focos são
(0,pm4raiz2)
e a distância focal (entre os dois focos) é
2c=8raiz2

Passo 5

O eixo conjugado é perpendicular ao transverso, com semi-eixo de comprimento b=4. Portanto as extremidades são
(pm b,0)=(pm4,0)
e o comprimento total do eixo conjugado é
2b=8

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole na forma tfracy^2a^2-tfracx^2b^2=1 passam pelo centro e têm equações
y=pmab,x
Aqui tfracab=1, logo
y = x e y = -,x

Passo 7

Para esboçar o gráfico, marcamos o centro (0,0), os vértices (0,4) e (0,-4), os focos (0,pm4raiz2), e desenhamos os ramos que se abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas y=pm x. A caixa de semi-eixos a=4, b=4 e suas diagonais ajudam a guiar as assíntotas.

Resposta

Distância focal: 2c=8raiz2
Comprimento do eixo transverso: 2a=8
Comprimento do eixo conjugado: 2b=8
Vértices: (0,4) e (0,-4)
Focos: (0,4raiz2) e (0,-4raiz2)
Extremidades do eixo conjugado: (4,0) e (-4,0)
Assíntotas: y = x e y = -,x
Gráfico: ramos verticais centrados em (0,0), abrindo para cima e para baixo, tangentes às assíntotas.

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