Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo transverso e conjugado. Determine os vértices, focos, as extremidades dos eixos conjugados e equações das assíntotas das hipérboles. Faço o gráfico da hipérbole.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
que é uma hipérbole centrada em
. Como o termo positivo é
, os focos e o eixo transverso ficam no eixo
. Vamos usar geometria analítica de cônicas: reescrever na forma padrão, identificar
,
,
, etc., e daí obter todos os elementos pedidos.
Passo 2
Colocamos em forma padrão dividindo tudo por
:
Dessa forma vemos que
logo
O sinal positivo em
confirma que a hipérbole tem eixo transverso vertical.
Passo 3
Os vértices ficam no centro acrescido ou diminuído de
ao longo do eixo transverso (eixo
):
O comprimento do eixo transverso é
Passo 4
A distância do centro a cada foco satisfaz
portanto
Os focos são
e a distância focal (entre os dois focos) é
Passo 5
O eixo conjugado é perpendicular ao transverso, com semi-eixo de comprimento
. Portanto as extremidades são
e o comprimento total do eixo conjugado é
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole na forma
passam pelo centro e têm equações
Aqui
, logo
Passo 7
Para esboçar o gráfico, marcamos o centro
, os vértices
e
, os focos
, e desenhamos os ramos que se abrem para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas
. A caixa de semi-eixos
,
e suas diagonais ajudam a guiar as assíntotas.
Resposta
Distância focal:
Comprimento do eixo transverso:
Comprimento do eixo conjugado:
Vértices: e
Focos: e
Extremidades do eixo conjugado: e
Assíntotas: e
Gráfico: ramos verticais centrados em , abrindo para cima e para baixo, tangentes às assíntotas.
Comprimento do eixo transverso:
Comprimento do eixo conjugado:
Vértices:
Focos:
Extremidades do eixo conjugado:
Assíntotas:
Gráfico: ramos verticais centrados em