Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
E(varphi1(X)+varphi2(Y))=E(varphi1(X))+E(varphi2(Y))

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de linearidade da esperança
,E(varphi1(X)+varphi2(Y))=E(varphi1(X))+E(varphi2(Y)).
Vamos usar a definição de esperança no caso discreto e no caso contínuo, explorando a distributividade da soma e o teorema de Fubini.

Passo 2

No caso discreto, pela definição de esperança de uma função de duas variáveis,
E[varphi1(X)+varphi2(Y)] = sumi,j[varphi1(xi)+varphi2(yj)],p(xi,yj)
Pela distributividade,
E[varphi1(X)+varphi2(Y)] = sumi,jvarphi1(xi),p(xi,yj) + sumi,jvarphi2(yj),p(xi,yj)
Definindo as marginais
pX(xi)=sumjp(xi,yj)
pY(yj)=sumip(xi,yj)
segue
sumi,jvarphi1(xi),p(xi,yj) = sumivarphi1(xi),pX(xi) = E[varphi1(X)]
sumi,jvarphi2(yj),p(xi,yj) = sumjvarphi2(yj),pY(yj) = E[varphi2(Y)]
Logo a propriedade vale no caso discreto.

Passo 3

No caso contínuo, pela definição de esperança com densidade conjunta f(x,y),
E[varphi1(X)+varphi2(Y)] = integral-infty^inftyintegral-infty^infty [varphi1(x)+varphi2(y)],f(x,y),dx,dy
Pela linearidade da integral e teorema de Fubini,
E[varphi1(X)+varphi2(Y)] = integral!!integral varphi1(x),f(x,y),dx,dy + integral!!integral varphi2(y),f(x,y),dx,dy
Definindo as densidades marginais
fX(x)=integral-infty^inftyf(x,y),dy
fY(y)=integral-infty^inftyf(x,y),dx
segue
integral!!integral varphi1(x),f(x,y),dx,dy = integral-infty^inftyvarphi1(x),fX(x),dx = E[varphi1(X)]
integral!!integral varphi2(y),f(x,y),dx,dy = integral-infty^inftyvarphi2(y),fY(y),dy = E[varphi2(Y)]
Portanto a propriedade vale também no caso contínuo.

Resposta

El(varphi1(X)+varphi2(Y)r) =El(varphi1(X)r)+El(varphi2(Y)r)

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