Exercício 18. (Apostol seção 14.27 exercícios 3) Mostre as seguintes propriedades para distribuições contínuas ou discretas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade de linearidade da esperança
.
Vamos usar a definição de esperança no caso discreto e no caso contínuo, explorando a distributividade da soma e o teorema de Fubini.
Vamos usar a definição de esperança no caso discreto e no caso contínuo, explorando a distributividade da soma e o teorema de Fubini.
Passo 2
No caso discreto, pela definição de esperança de uma função de duas variáveis,
Pela distributividade,
Definindo as marginais
segue
Logo a propriedade vale no caso discreto.
Passo 3
No caso contínuo, pela definição de esperança com densidade conjunta
,
Pela linearidade da integral e teorema de Fubini,
Definindo as densidades marginais
segue
Portanto a propriedade vale também no caso contínuo.