Determine o valor de
para que os vetores
e
sejam ortogonais. Para o(s) valor(es) encontrado(s), calcule
.
9. Mostre que para quaisquer vetores
vale a identidade de polarização:
Verifique numericamente com
e
.
9. Mostre que para quaisquer vetores
Passo 1
O enunciado dá dois itens. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado.
Dados:
-
com . -
com o mesmo .
Perguntas:
- Determinar
para que e sejam ortogonais. - Para cada valor de
encontrado, calcular . - Mostrar a identidade de polarização
para quaisquer
e verificar numericamente com
e
.
Passo 2
Conceitos fundamentais (rápida “aula” para a prova):
- Produto interno (produto escalar) em
: para e ,
No caso tridimensional, é
.
- Ortogonalidade:
e são ortogonais se, e só se, . - Norma associada ao produto interno:
.
Essas fórmulas são as ferramentas que usamos para responder (1) e (2).
Passo 3
Usar o produto interno para impor ortogonalidade entre
e
.
Calcular
(pegando os componentes do enunciado):
Desenvolvendo:
Impor ortogonalidade:
Resolver a equação:
Portanto existe um único valor real
que torna
e
ortogonais.
Passo 4
Calcular
para
. Primeiro escrever a fórmula geral da norma (relembrando a definição):
Agora substituir
:
Conclusão: para o valor
(único valor),
.
Passo 5
Agora a identidade de polarização — objetivo: provar que, em qualquer espaço euclidiano
com o produto interno usual, vale
Estratégia: expandir as normas ao quadrado usando a definição
e as propriedades bilineares do produto interno.
Passo 6
Prova detalhada (passo a passo, sem pular contas):
Primeiro expandir
usando a definição:
Usando linearidade em cada argumento do produto interno (distribuição),
Como o produto interno é simétrico em
,
. Logo
Agora expandir
de modo análogo:
Usando simetria,
Subtrair as duas expressões:
Os termos
e
cancelam, sobrando
Dividindo ambos os lados por
obtém-se exatamente a identidade de polarização:
Isso conclui a prova algébrica da identidade.
Passo 7
Comentário pedagógico curto: a ideia é simples e útil na prova/recuperação de produto interno a partir da norma. A conta é só usar a bilinearidade e simetria do produto interno, e observar que os termos quadráticos se cancelam ao subtrair as duas expressões, deixando só o termo misto
.
Passo 8
Verificação numérica com
e
.
Calcular o produto interno diretamente:
Agora calcular as normas necessárias:
- Primeiro
. Então
- Depois
. Então
Aplicar a identidade de polarização:
Resultado numérico: ambos os lados dão
, conforme a identidade.