Determine o valor de t \in \mathbb{R} para que os vetores \mathbf{u}=(t, 2,-1) e \mathbf{v}=(1, t, 3) sejam ortogonais. Para o(s) valor(es) encontrado(s), calcule \|\mathbf{u}\|.
9. Mostre que para quaisquer vetores \mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} vale a identidade de polarização:
\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\frac{1}{4}\left(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}\right)
Verifique numericamente com \mathbf{u}=(1,2,-1) e \mathbf{v}=(3,0,4).

Passo 1

O enunciado dá dois itens. Vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado.
Dados:
  • \mathbf{u}=(t,2,-1) com t\in\mathbb{R}.
  • \mathbf{v}=(1,t,3) com o mesmo t.
Perguntas:
  1. Determinar t\in\mathbb{R} para que \mathbf{u} e \mathbf{v} sejam ortogonais.
  2. Para cada valor de t encontrado, calcular \|\mathbf{u}\|.
  3. Mostrar a identidade de polarização
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\frac{1}{4}\bigl(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}\bigr)
para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n e verificar numericamente com \mathbf{u}=(1,2,-1) e \mathbf{v}=(3,0,4).

Passo 2

Conceitos fundamentais (rápida “aula” para a prova):
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^n: para \mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n) e \mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n),
\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=\sum_{i=1}^n a_i b_i.
No caso tridimensional, é \langle(a,b,c),(x,y,z)\rangle = ax+by+cz.
  • Ortogonalidade: \mathbf{a} e \mathbf{b} são ortogonais se, e só se, \langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=0.
  • Norma associada ao produto interno: \|\mathbf{a}\|=\sqrt{\langle\mathbf{a},\mathbf{a}\rangle}=\sqrt{\sum a_i^2}.
    Essas fórmulas são as ferramentas que usamos para responder (1) e (2).

Passo 3

Usar o produto interno para impor ortogonalidade entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Calcular \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle (pegando os componentes do enunciado):
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = t\cdot 1 + 2\cdot t + (-1)\cdot 3.
Desenvolvendo:
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = t + 2t - 3 = 3t - 3.
Impor ortogonalidade:
3t-3=0.
Resolver a equação:
3t=3 \quad\Rightarrow\quad t=1.
Portanto existe um único valor real t=1 que torna \mathbf{u} e \mathbf{v} ortogonais.

Passo 4

Calcular \|\mathbf{u}\| para t=1. Primeiro escrever a fórmula geral da norma (relembrando a definição):
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{t^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{t^{2}+4+1}=\sqrt{t^{2}+5}.
Agora substituir t=1:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^{2}+5}=\sqrt{6}.
Conclusão: para o valor t=1 (único valor), \|\mathbf{u}\|=\sqrt{6}.

Passo 5

Agora a identidade de polarização — objetivo: provar que, em qualquer espaço euclidiano \mathbb{R}^n com o produto interno usual, vale
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\frac{1}{4}\bigl(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}\bigr).
Estratégia: expandir as normas ao quadrado usando a definição \|\mathbf{w}\|^{2}=\langle\mathbf{w},\mathbf{w}\rangle e as propriedades bilineares do produto interno.

Passo 6

Prova detalhada (passo a passo, sem pular contas):
Primeiro expandir \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2} usando a definição:
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}=\langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle.
Usando linearidade em cada argumento do produto interno (distribuição),
\langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle =\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.
Como o produto interno é simétrico em \mathbb{R}^n, \langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle. Logo
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}=\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle+2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.
Agora expandir \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2} de modo análogo:
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}=\langle\mathbf{u}-\mathbf{v},\mathbf{u}-\mathbf{v}\rangle =\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle-\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle-\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.
Usando simetria,
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}=\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle-2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle.
Subtrair as duas expressões:
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2} =(\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle+2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle) -(\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle-2\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle).
Os termos \langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle e \langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle cancelam, sobrando
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}=4\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle.
Dividindo ambos os lados por 4 obtém-se exatamente a identidade de polarização:
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\frac{1}{4}\bigl(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}\bigr).
Isso conclui a prova algébrica da identidade.

Passo 7

Comentário pedagógico curto: a ideia é simples e útil na prova/recuperação de produto interno a partir da norma. A conta é só usar a bilinearidade e simetria do produto interno, e observar que os termos quadráticos se cancelam ao subtrair as duas expressões, deixando só o termo misto 4\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle.

Passo 8

Verificação numérica com \mathbf{u}=(1,2,-1) e \mathbf{v}=(3,0,4).
Calcular o produto interno diretamente:
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 1\cdot 3 + 2\cdot 0 + (-1)\cdot 4 = 3 + 0 - 4 = -1.
Agora calcular as normas necessárias:
  • Primeiro \mathbf{u}+\mathbf{v}=(1+3,\,2+0,\, -1+4)=(4,2,3). Então
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}=4^{2}+2^{2}+3^{2}=16+4+9=29.
  • Depois \mathbf{u}-\mathbf{v}=(1-3,\,2-0,\, -1-4)=(-2,2,-5). Então
\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}=(-2)^{2}+2^{2}+(-5)^{2}=4+4+25=33.
Aplicar a identidade de polarização:
\frac{1}{4}\bigl(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}\bigr) =\frac{1}{4}(29-33)=\frac{1}{4}(-4)=-1.
Resultado numérico: ambos os lados dão -1, conforme a identidade.

Resposta

t=1,\\ \|\mathbf{u}\|=\sqrt{6}
\displaystyle \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\frac{1}{4}\bigl(\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}-\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}\bigr) e, para \mathbf{u}=(1,2,-1),\\ \mathbf{v}=(3,0,4), ambos os lados valem -1.

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