Sejam \mathbf{a} e \mathbf{b} vetores de \mathbb{R}^{3} com \|\mathbf{a}\|=3,\|\mathbf{b}\|=5 e \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle=-6.
a) Qual é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b} ?
b) Calcule \langle(2 \mathbf{a}-\mathbf{b}),(\mathbf{a}+3 \mathbf{b})\rangle.
c) Determine \|\mathbf{a}+\mathbf{b}\|.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \|\mathbf{a}\|=3.
  • \|\mathbf{b}\|=5.
  • \langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle=-6.
O enunciado pede:
a) O ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
b) O valor de \langle(2\mathbf{a}-\mathbf{b}),(\mathbf{a}+3\mathbf{b})\rangle.
c) O valor de \|\mathbf{a}+\mathbf{b}\|.

Passo 2

Entendendo a relação entre produto interno e ângulo (aula rápida e concreta).
  • Definição útil: para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3, o produto interno se relaciona com o ângulo \theta entre eles por
\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Aqui \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle é o produto interno (ou “dot product”), \|\mathbf{u}\| é o comprimento (norma) de \mathbf{u}, e \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Essa fórmula serve para obter \cos\theta quando conhecemos o produto interno e as normas.
Aplicando ao nosso caso (substituindo os dados do enunciado):
\cos\theta=\frac{\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}=\frac{-6}{3\cdot 5}=\frac{-6}{15}=-\tfrac{2}{5}.
Logo o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{2}{5}\right).
Para dar uma ideia numérica (útil na prova para comparar alternativas), calcule a aproximação: \operatorname{arccos}(-0,4)\approx1,982 radianos, que é aproximadamente 113,58^\circ (lembre: 1\\ \text{rad}\approx57,2958^\circ).

Passo 3

Propriedades do produto interno (mini-aula): o produto interno é bilinear e simétrico, isto é,
  • \langle\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=\alpha\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle+\beta\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle para escalares \alpha,\beta,
  • \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle.
Usamos isso para calcular \langle(2\mathbf{a}-\mathbf{b}),(\mathbf{a}+3\mathbf{b})\rangle. Expandindo por bilinearidade:
\begin{aligned} \langle 2\mathbf{a}-\mathbf{b},\mathbf{a}+3\mathbf{b}\rangle &=2\langle\mathbf{a},\mathbf{a}\rangle+6\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle-\langle\mathbf{b},\mathbf{a}\rangle-3\langle\mathbf{b},\mathbf{b}\rangle\\\ &=2\|\mathbf{a}\|^{2}+(6-1)\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle-3\|\mathbf{b}\|^{2}, \end{aligned}
onde, para passar da primeira para a segunda linha, usei \langle\mathbf{b},\mathbf{a}\rangle=\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle.
Agora substitui os números do enunciado:
2\|\mathbf{a}\|^{2}+5\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle-3\|\mathbf{b}\|^{2} =2\cdot 3^{2}+5\cdot(-6)-3\cdot 5^{2}.
Calcule passo a passo:
2\cdot 3^{2}=2\cdot 9=18, \qquad 5\cdot(-6)=-30, \qquad 3\cdot 5^{2}=3\cdot 25=75.
Somando:
18-30-75=18-105=-87.
Logo \langle(2\mathbf{a}-\mathbf{b}),(\mathbf{a}+3\mathbf{b})\rangle=-87.

Passo 4

Norma de \mathbf{a}+\mathbf{b} (fórmula e cálculo claro).
  • Lembrete: a norma ao quadrado da soma é dada por
\|\mathbf{a}+\mathbf{b}\|^{2}=\langle\mathbf{a}+\mathbf{b},\mathbf{a}+\mathbf{b}\rangle=\|\mathbf{a}\|^{2}+2\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle+\|\mathbf{b}\|^{2}.
Aqui usei bilinearidade e simetria do produto interno para expandir.
Substituindo os valores:
\|\mathbf{a}+\mathbf{b}\|^{2}=3^{2}+2\cdot(-6)+5^{2}=9-12+25=22.
Portanto
\|\mathbf{a}+\mathbf{b}\|=\sqrt{22}.
Dica prática: muitas questões pedem \|\mathbf{a}+\mathbf{b}\| mas é mais simples calcular o quadrado primeiro (evita sinais) e só depois extrair a raiz.

Passo 5

Pequeno resumo mental para a prova (animação rápida):
  • Para ângulo: usar \cos\theta=\dfrac{\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}.
  • Para produtos internos com combinações lineares: expandir usando bilinearidade.
  • Para norma de soma: lembrar \|\mathbf{a}+\mathbf{b}\|^{2}=\|\mathbf{a}\|^{2}+2\langle\mathbf{a},\mathbf{b}\rangle+\|\mathbf{b}\|^{2}.
    Você já tem tudo para repetir esse tipo de exercício rapidinho — respire, faça cada passo devagar e vai dar certo!

Resposta

(a) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{2}{5}\right)\approx1,982\\ \text{rad}\approx113,58^\circ
(b) -87
(c) \sqrt{22}

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