Sejam
e
vetores de
com
e
.
a) Qual é o ângulo entre
e
?
b) Calcule
.
c) Determine
.
a) Qual é o ângulo entre
b) Calcule
c) Determine
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
.
O enunciado pede:
a) O ângulo entre e
.
b) O valor de .
c) O valor de .
a) O ângulo entre
b) O valor de
c) O valor de
Passo 2
Entendendo a relação entre produto interno e ângulo (aula rápida e concreta).
- Definição útil: para vetores
e em , o produto interno se relaciona com o ângulo entre eles por
Aqui
é o produto interno (ou “dot product”),
é o comprimento (norma) de
, e
é o ângulo entre
e
. Essa fórmula serve para obter
quando conhecemos o produto interno e as normas.
Aplicando ao nosso caso (substituindo os dados do enunciado):
Logo o ângulo é
Para dar uma ideia numérica (útil na prova para comparar alternativas), calcule a aproximação:
radianos, que é aproximadamente
(lembre:
).
Passo 3
Propriedades do produto interno (mini-aula): o produto interno é bilinear e simétrico, isto é,
-
para escalares , -
.
Usamos isso para calcular
. Expandindo por bilinearidade:
onde, para passar da primeira para a segunda linha, usei
.
Agora substitui os números do enunciado:
Calcule passo a passo:
Somando:
Logo
.
Passo 4
Norma de
(fórmula e cálculo claro).
- Lembrete: a norma ao quadrado da soma é dada por
Aqui usei bilinearidade e simetria do produto interno para expandir.
Substituindo os valores:
Portanto
Dica prática: muitas questões pedem
mas é mais simples calcular o quadrado primeiro (evita sinais) e só depois extrair a raiz.
Passo 5
Pequeno resumo mental para a prova (animação rápida):
- Para ângulo: usar
. - Para produtos internos com combinações lineares: expandir usando bilinearidade.
- Para norma de soma: lembrar
.
Você já tem tudo para repetir esse tipo de exercício rapidinho — respire, faça cada passo devagar e vai dar certo!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)