Determine o valor de c tal que sumk=1^infty 5 cdot 3^k(1+c)^k=10

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita da forma . O conteúdo envolvido aqui é a série geométrica, e para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão fixa elevada a uma potência. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
sumk=1^infty ar^k = a r1 - r
onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. Essa fórmula é válida quando .

Passo 3

Vamos identificar os valores de 5 ( 31 + c )^k e na nossa série. Observando a expressão , podemos reescrever como:
Aqui, o primeiro termo e a razão .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da soma da série geométrica:
sumk=1^infty 5 cdot 3^k(1+c)^k = 5 cdot 31 + c1 - 31 + c = 10
Simplificando o denominador:
1 - 31 + c = (1 + c) - 31 + c = c - 21 + c
Então, a equação fica:
5 cdot 31 + cc - 21 + c = 10

Passo 5

Simplificando a fração:
5 cdot 3c - 2 = 10
Ou seja:
15c - 2 = 10

Passo 6

Agora, resolvemos para 15 = 10(c - 2) :
15 = 10c - 20
15 + 20 = 10c
35 = 10c
c = 3510 = 3,5

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados