Determine o valor de
tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita da forma
. O conteúdo envolvido aqui é a série geométrica, e para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é uma constante multiplicada por uma razão fixa elevada a uma potência. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre os termos. Essa fórmula é válida quando
.
Passo 3
Vamos identificar os valores de
e
na nossa série. Observando a expressão
, podemos reescrever como:
Aqui, o primeiro termo
e a razão
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da soma da série geométrica:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 5
Simplificando a fração:
Ou seja:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O valor de
é
.