Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
y'' + 2y' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) linear homogênea com coeficientes constantes que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem onde os coeficientes das derivadas são números constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1. Assim, a equação fica:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas raízes reais e distintas: e .

Passo 4

Com as raízes e encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Para raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo os valores de e :
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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