Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) linear homogênea com coeficientes constantes que é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de segunda ordem onde os coeficientes das derivadas são números constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação fica:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
e
.
Passo 4
Com as raízes
e
encontradas, podemos escrever a solução geral da EDO. Para raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo os valores de
e
:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.