Provar que sumk=1^infty 1k diverge. (Dica: estimar o valor das somas parciais com 2^n somandos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a soma infinita sumk=1^infty 1k não tem um valor finito, ou seja, ela “diverge”. Isso faz parte da matéria de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar entender como estimar somas parciais usando potências de 2, como 2^n.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a soma infinita diverge. Isso quer dizer que, conforme somamos mais e mais termos da sequência 1k, a soma total vai ficando cada vez maior sem se estabilizar em um número específico.

Passo 3

Vamos olhar para as somas parciais da série. Uma soma parcial é a soma dos primeiros N termos da série. Se mostrarmos que, para qualquer número grande que você escolha, há uma soma parcial que é maior que esse número, podemos concluir que a série diverge.

Passo 4

A dica fala em usar 2^n somandos. Vamos dividir a série em blocos cujo número de termos dobra a cada etapa. Por exemplo:
  • O primeiro bloco tem 1 termo: 11
  • O segundo bloco tem 2 termos: 12 + 13
  • O terceiro bloco tem 4 termos: 14 + 15 + 16 + 17
  • E assim por diante.

Passo 5

Agora, vamos estimar cada bloco. No bloco que tem 2^n-1 termos, cada termo é no mínimo 12^n. Então, a soma de cada bloco é pelo menos:
2^n-1 times 12^n = 12

Passo 6

Como cada bloco contribui com pelo menos 12 para a soma total, e temos infinitos blocos, a soma total será pelo menos:
12 + 12 + 12 + dots
Isso significa que a soma total cresce sem limite, pois adicionamos 12 uma quantidade infinita de vezes.

Resposta

Portanto, a série sumk=1^infty 1k diverge, já que suas somas parciais crescem indefinidamente.

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