Determine o valor de x na equação y=2^{\log _{3}(x+4)} para que y seja igual a 8.

Passo 1

O enunciado dá a função y=2^{\log_{3}(x+4)} e pede para determinar o valor de x tal que y=8.
Informações relevantes: y é dada por 2^{\log_{3}(x+4)} e precisamos resolver a equação obtida ao substituir y=8. Também é necessário lembrar que o logaritmo \log_{3}(x+4) só está definido se x+4>0.

Passo 2

Substituo y=8 na expressão dada:
8 = 2^{\log_{3}(x+4)}.
Isso é apenas a equação que vamos resolver para x.

Passo 3

Reconheço que 8 é uma potência inteira de 2, pois
8 = 2^3.
Como a função exponencial 2^t é injetiva (ou seja, se 2^{a}=2^{b} então a=b), posso igualar os expoentes na igualdade
2^{\log_{3}(x+4)} = 2^3.
Portanto
\log_{3}(x+4) = 3.

Passo 4

Agora uso a definição de logaritmo: \log_{3}(x+4)=3 significa que a potência de 3 que dá x+4 é 3. Em outras palavras,
3^{3} = x+4.
A definição usada: \log_{a}(b)=c se, e somente se, a^{c}=b. Aqui a=3, b=x+4, c=3.

Passo 5

Calculo 3^{3}:
3^{3}=27,
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x+4=27.
Isolando x,
x=27-4=23.

Passo 6

Verifico as condições e o resultado: a condição de existência do logaritmo é x+4>0. Como x=23 tem 23+4=27>0, está ok. Plugando de volta para checar:
y=2^{\log_{3}(23+4)}=2^{\log_{3}(27)}=2^{3}=8,
portanto a solução está correta.

Resposta

x=23

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