Determine o valor de x para que os vetores v_{1}=(1,1, x), v_{2}=(1,0,1) e v_{3}=(2,1,3) sejam L.I.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de x para que os vetores \,v_{1}=(1,1,x),\; v_{2}=(1,0,1) e \,v_{3}=(2,1,3)\, sejam linearmente independentes.
Informações dadas: os três vetores em \mathbb{R}^{3} com coordenadas explicitadas acima.
Objetivo explícito: encontrar os valores de x que tornam esses três vetores linearmente independentes.

Passo 2

Conceito importante (explicado com calma): três vetores em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes se, e somente se, a matriz formada por esses vetores (como colunas ou como linhas) tiver determinante diferente de zero.
Intuição simples: o determinante mede o “volume” do paralelepípedo gerado pelos vetores; se o determinante for zero, o volume é zero e os vetores estão todos num mesmo plano (ou linha), logo são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos formar a matriz A colocando os vetores como colunas (qualquer escolha coluna/linha dá a mesma condição de independência):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] x & 1 & 3 \end{pmatrix}
Agora calculamos o determinante de A. Usamos a expansão pela primeira linha (regra de Sarrus/menores):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]x & 3\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]x & 1\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot1=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]x & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot x=3-x,
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]x & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot x=1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-1)-1\cdot(3-x)+2\cdot1 = -1-(3-x)+2.
Simplificando:
\det(A)=-1-3+x+2 = x-2.]

Passo 4

Conclusão lógica: os vetores serão linearmente independentes exatamente quando \det(A)\neq 0. Como \det(A)=x-2, a condição é
x-2\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 2.
Observação didática e útil para a prova: se x=2 temos v_{1}=(1,1,2). Repare que \,v_{3}-v_{2}=(2,1,3)-(1,0,1)=(1,1,2)=v_{1}, ou seja, para x=2 o vetor v_{1} é combinação linear de v_{2} e v_{3}, confirmando a dependência linear. Isso ajuda a entender geometricamente por que \det(A)=0 quando x=2.

Resposta

x\neq 2

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