Seja \mathcal{P} o paralelepípedo de arestas A B, A D e A E. Aceitamos o seguinte fato: o volume V de \mathcal{P} é dado pelo valor absoluto do produto misto [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}], isto é,
Calcule o volume do paralelepípedo A B C D E F G H, onde A(-1,-1,7), B(-2,1,6), C(0,1,6), D(1,-1,7), E(2,-2,3), F(1,0,2), G(3,0,2), H(4,-2,3).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do paralelepípedo A B C D E F G H. Aceitamos o fato dado: o volume V é o valor absoluto do produto misto [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}], isto é,
V = \left|[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A E}]\right|.
As informações fornecidas são as coordenadas dos vértices:
Portanto temos tudo o que precisamos: basta calcular os vetores \overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D},\overrightarrow{A E}, o produto vetorial \overrightarrow{A D}\times\overrightarrow{A E} e então o produto escalar com \overrightarrow{A B}.
Passo 2
Calcular os vetores a partir das coordenadas (subtraindo coordenadas do ponto final pelo ponto inicial).
\overrightarrow{A B} = B - A = (-2-(-1),\;1-(-1),\;6-7) = (-1,\;2,\;-1).
\overrightarrow{A D} = D - A = (1-(-1),\;-1-(-1),\;7-7) = (2,\;0,\;0).
\overrightarrow{A E} = E - A = (2-(-1),\;-2-(-1),\;3-7) = (3,\;-1,\;-4).
Expliquei: para obter \overrightarrow{XY} faz-se coordenada de Y menos coordenada de X em cada componente.
Passo 3
O produto misto [\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D},\overrightarrow{A E}] pode ser calculado como produto escalar de \overrightarrow{A B} pelo produto vetorial \overrightarrow{A D}\times\overrightarrow{A E}:
Agora calculemos o produto escalar \overrightarrow{A B}\cdot(\overrightarrow{A D}\times\overrightarrow{A E}). Para dois vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), o produto escalar é
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Aplicando com \overrightarrow{A B}=(-1,2,-1) e \overrightarrow{A D}\times\overrightarrow{A E}=(0,8,-2):
V = \left|[\overrightarrow{A B},\overrightarrow{A D},\overrightarrow{A E}]\right| = |18| = 18.
Parabéns — chegamos à resposta com contas diretas e sem mistério. Se quiser, posso mostrar a mesma conta usando determinante 3\times3 (é exatamente o mesmo número) para você memorizar outra forma de cálculo.