Sejam
e considere a seguinte transformação linear
dada por
. Existe
tal que
para algum (
) não nulo em particular quando:
Escolha uma opção:
e
е
е
Passo 1
O enunciado pede para verificar, dentre quatro escolhas de coeficientes
, em quais casos existe um número real
e um vetor não nulo
tais que
onde
. Em outras palavras: para quais escolhas da lista a matriz
tem pelo menos um autovalor real (ou seja, existe
e vetor não nulo
com
).
As opções dadas são:
-
. -
. -
. -
.]
Passo 2
O que significa resolver
com
?
Isso é equivalente a
Isso é equivalente a
que tem solução não trivial se, e somente se,
Para uma matriz
a característica é uma equação quadrática em
:
ou seja
Passo 3
Expandindo a equação característica obtemos a forma padrão da quadrática:
Uma equação quadrática tem raiz real quando o discriminante é não negativo. Aqui o discriminante é
Podemos reescrever
de forma mais conveniente:
Portanto, a matriz
tem pelo menos um autovalor real se, e somente se,
Vou usar essa condição para testar cada opção.
Passo 4
Opção 1:
.
Calculemos os termos:
Logo
Como
, a equação característica tem duas raízes reais distintas. Conclusão: nesta opção existe
e vetor não nulo com
.
Passo 5
Opção 2:
.
Calculemos:
Logo
Mesmo sem calcular exatamente
, fica claro que
é muito maior que
, então
. Conclusão:
e portanto existem autovalores reais (duas raízes reais distintas). Logo também nesta opção existe
e vetor não nulo com
.
Passo 6
Opção 3:
.
Calculemos:
Então
Aqui
, ou seja, o polinômio característico não tem raízes reais (apenas raízes complexas conjugadas). Conclusão: nesta opção não existe
com vetor real não nulo que satisfaça
.
Passo 7
Opção 4:
.
Calculemos:
Logo
Temos
, ou seja, não há autovalores reais (apenas complexos). Conclusão: nesta opção também não existe
com vetor real não nulo que satisfaça
.
Resposta
Opções
e
.