Sejam a, b, c, d \in \mathbb{R} e considere a seguinte transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(a x+b y, c x+d y). Existe \lambda \in \mathbb{R} tal que T(x, y)=\lambda(x, y) para algum ( x, y ) não nulo em particular quando:
Escolha uma opção:
\bigcirc a=b=c=1 e d=-1
\bigcirc a=2020, b=-1, c=1, d=-2020
\bigcirc a=2, b=-1, c=3 е d=0
\bigcirc a=c=d=1 е b=-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar, dentre quatro escolhas de coeficientes a,b,c,d, em quais casos existe um número real \lambda e um vetor não nulo (x,y) tais que
T(x,y)=\lambda(x,y),
onde T(x,y)=(ax+by,\;cx+dy). Em outras palavras: para quais escolhas da lista a matriz
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
tem pelo menos um autovalor real (ou seja, existe \lambda\in\mathbb{R} e vetor não nulo (x,y) com A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}).
As opções dadas são:
  1. a=b=c=1,\\ d=-1.
  2. a=2020,\\ b=-1,\\ c=1,\\ d=-2020.
  3. a=2,\\ b=-1,\\ c=3,\\ d=0.
  4. a=c=d=1,\\ b=-1.]

Passo 2

O que significa resolver A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} com \mathbf{v}\neq 0?
Isso é equivalente a
(A-\lambda I)\mathbf{v}=0,
que tem solução não trivial se, e somente se,
\det(A-\lambda I)=0.
Para uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
a característica é uma equação quadrática em \lambda:
\det\!\left(\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\[4pt] c & d-\lambda\end{pmatrix}\right)=0
ou seja
(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0.]

Passo 3

Expandindo a equação característica obtemos a forma padrão da quadrática:
\lambda^{2}-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0.
Uma equação quadrática tem raiz real quando o discriminante é não negativo. Aqui o discriminante é
\Delta=(a+d)^{2}-4(ad-bc).
Podemos reescrever \Delta de forma mais conveniente:
\Delta=(a-d)^{2}+4bc.
Portanto, a matriz A tem pelo menos um autovalor real se, e somente se,
\Delta=(a-d)^{2}+4bc\ge 0.
Vou usar essa condição para testar cada opção.

Passo 4

Opção 1: a=b=c=1,\\ d=-1.
Calculemos os termos:
a-d=1-(-1)=2,
bc=1\cdot 1=1.
Logo
\Delta=(a-d)^{2}+4bc=2^{2}+4\cdot 1=4+4=8.
Como \Delta=8>0, a equação característica tem duas raízes reais distintas. Conclusão: nesta opção existe \lambda\in\mathbb{R} e vetor não nulo com T(x,y)=\lambda(x,y).

Passo 5

Opção 2: a=2020,\\ b=-1,\\ c=1,\\ d=-2020.
Calculemos:
a-d=2020-(-2020)=4040,
bc=(-1)\cdot 1=-1.
Logo
\Delta=(a-d)^{2}+4bc=4040^{2}+4(-1)=4040^{2}-4.
Mesmo sem calcular exatamente 4040^{2}, fica claro que 4040^{2} é muito maior que 4, então \Delta>0. Conclusão: \Delta>0 e portanto existem autovalores reais (duas raízes reais distintas). Logo também nesta opção existe \lambda\in\mathbb{R} e vetor não nulo com T(x,y)=\lambda(x,y).

Passo 6

Opção 3: a=2,\\ b=-1,\\ c=3,\\ d=0.
Calculemos:
a-d=2-0=2,
bc=(-1)\cdot 3=-3.
Então
\Delta=(a-d)^{2}+4bc=2^{2}+4(-3)=4-12=-8.
Aqui \Delta=-8<0, ou seja, o polinômio característico não tem raízes reais (apenas raízes complexas conjugadas). Conclusão: nesta opção não existe \lambda\in\mathbb{R} com vetor real não nulo que satisfaça T(x,y)=\lambda(x,y).

Passo 7

Opção 4: a=c=d=1,\\ b=-1.
Calculemos:
a-d=1-1=0,
bc=(-1)\cdot 1=-1.
Logo
\Delta=(a-d)^{2}+4bc=0^{2}+4(-1)=-4.
Temos \Delta=-4<0, ou seja, não há autovalores reais (apenas complexos). Conclusão: nesta opção também não existe \lambda\in\mathbb{R} com vetor real não nulo que satisfaça T(x,y)=\lambda(x,y).

Resposta

Opções 1 e 2.

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