Determine o retângulo que está contido no domínio da função f(x, y)=ln (y-x^2-1). Escolha as opções corretas:
(a) O retângulo de vértices (1,-1),(-1,-1),(-1,0) e (1,0)
(b) O retângulo de vértices (1,1),(-1,1),(-1,2) e (1,2)
(c) O retângulo de vértices (1,2),(-1,2),(-1,2.5) e (1,2.5)
(d) O retângulo de vértices (1,0),(-1,0),(-1,1) e (1,1)
(e) O retângulo de vértices (1,2.5),(-1,2.5),(-1,3) e (1,3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar quais retângulos estão totalmente contidos no domínio da função
f(x,y)=lnl(y - x^2 - 1r)
Para que f esteja definida precisamos ter
y - x^2 - 1 > 0 Long<=ftrightarrow y > x^2 + 1

Passo 2

Note que em todos os retângulos dados o valor de x varia entre -1 e 1. Logo
x^2in[0,1] Longrightarrow x^2+1in[1,2]
Isto significa que, para todo (x,y) com -1<= x<=1, a condição y>x^2+1 exige no pior caso
y > 2,
pois o maior valor de x^2+1 é 2.

Passo 3

Agora basta olhar o intervalo de y em cada retângulo e ver se o seu mínimo é maior do que 2:
(a) yin[-1,0] to mínimo -1, falha.
(b) yin[1,2] to mínimo 1, falha.
(c) yin[2,2.5] to mínimo 2, mas precisamos de y>2, falha nos pontos com y=2.
(d) yin[0,1] to mínimo 0, falha.
(e) yin[2.5,3] to mínimo 2,5>2, satisfaz y>x^2+1 para todo -1<= x<=1.

Resposta

(e)

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