(1 pt). Determine os valores das constantes a e b para que a função
seja contínua em R.
g(x)= \begin{cases}\frac{|x+2|}{x+2}, & \text { se } x<-2 \text { ou } x>0 \\\ a x^{2}+b, & \text { se }-2 \leq x \leq 0\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores das constantes a\) e \(b\) para que a função \(g\) seja contínua em \(\mathbb{R}\). A função é dada por:
\[g(x)= \begin{cases}\dfrac{|x+2|}{x+2}, & \text{se } x<-2 \text{ ou } x>0 \\[6pt] a x^{2}+b, & \text{se }-2 \leq x \leq 0\end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Há junções das duas definições nos pontos x=-2\] e \(x=0.
A primeira expressão \dfrac{|x+2|}{x+2} não está definida em x=-2, por isso o valor em x=-2 é tomado pela segunda expressão.
Para que g seja contínua em \mathbb{R} precisamos, em particular, que g seja contínua em x=-2 e em x=0, pois nas demais regiões cada ramo é contínuo (polinômio é contínuo; a expressão com valor absoluto é contínua em seus pontos de definição).]
Passo 2
Lembrete rápido sobre continuidade num ponto: uma função f é contínua em x=c se e somente se
Isto significa que os limites laterais existem e coincidem e esse valor é igual ao valor da função em c. No nosso problema só precisamos aplicar essa condição em c=-2 e em c=0.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão \dfrac{|x+2|}{x+2}\) em cada região, usando a definição de valor absoluto:
\[|u|=\begin{cases}u, & u\ge 0,\\\\ -u, & u<0.\end{cases}
Aqui u=x+2\].
- Se \(x> -2 então x+2>0 e |x+2|=x+2. Assim