(1 pt). Determine os valores das constantes a e b para que a função
seja contínua em R.
g(x)= \begin{cases}\frac{|x+2|}{x+2}, & \text { se } x<-2 \text { ou } x>0 \\\ a x^{2}+b, & \text { se }-2 \leq x \leq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores das constantes a\) e \(b\) para que a função \(g\) seja contínua em \(\mathbb{R}\). A função é dada por: \[g(x)= \begin{cases}\dfrac{|x+2|}{x+2}, & \text{se } x<-2 \text{ ou } x>0 \\[6pt] a x^{2}+b, & \text{se }-2 \leq x \leq 0\end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há junções das duas definições nos pontos x=-2\] e \(x=0.
  • A primeira expressão \dfrac{|x+2|}{x+2} não está definida em x=-2, por isso o valor em x=-2 é tomado pela segunda expressão.
  • Para que g seja contínua em \mathbb{R} precisamos, em particular, que g seja contínua em x=-2 e em x=0, pois nas demais regiões cada ramo é contínuo (polinômio é contínuo; a expressão com valor absoluto é contínua em seus pontos de definição).]

Passo 2

Lembrete rápido sobre continuidade num ponto: uma função f é contínua em x=c se e somente se
\lim_{x\to c^-} f(x)=\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)}.
Isto significa que os limites laterais existem e coincidem e esse valor é igual ao valor da função em c. No nosso problema só precisamos aplicar essa condição em c=-2 e em c=0.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão \dfrac{|x+2|}{x+2}\) em cada região, usando a definição de valor absoluto: \[|u|=\begin{cases}u, & u\ge 0,\\\\ -u, & u<0.\end{cases}
Aqui u=x+2\]. - Se \(x> -2 então x+2>0 e |x+2|=x+2. Assim
\frac{|x+2|}{x+2}= \frac{x+2}{x+2}=1 \quad\text{para } x>-2.
  • Se x< -2 então x+2<0 e |x+2|=-(x+2). Assim
\frac{|x+2|}{x+2}= \frac{-(x+2)}{x+2}=-1 \quad\text{para } x<-2.
No enunciado a primeira expressão vale para x<-2 ou para x>0. Observação: em x>0 também vale x>-2, então nessa região o valor é 1. Resumindo:
\frac{|x+2|}{x+2}=\begin{cases}-1, & x<-2,\\[4pt] 1, & x>-2\\ (\text{em especial }x>0).\end{cases}]

Passo 4

Condição de continuidade em x=-2:
  • Limite pela esquerda (usando o ramo definido para x<-2): como mostrado, \lim_{x\to -2^-}\dfrac{|x+2|}{x+2}=-1.
  • O valor da função em x=-2 vem do ramo polinomial (já que a primeira expressão não está definida em -2). Logo
g(-2)=a(-2)^2+b=4a+b.
Para continuidade em x=-2 precisamos
\lim_{x\to -2^-} g(x)=g(-2)\quad\Longrightarrow\quad -1 = 4a+b.
Portanto obtemos a equação
4a+b=-1.

Passo 5

Condição de continuidade em x=0:
  • Limite pela direita (usando o ramo \dfrac{|x+2|}{x+2} válido para x>0): como mostrado, \lim_{x\to 0^+}\dfrac{|x+2|}{x+2}=1.
  • O valor da função em x=0 vem do polinômio:
g(0)=a\cdot 0^2 + b = b.
Para continuidade em x=0 precisamos
\lim_{x\to 0^+} g(x)=g(0)\quad\Longrightarrow\quad 1 = b.
Assim encontramos b=1.

Passo 6

Agora substituímos b=1 na equação obtida no Passo 4:
4a+b=-1 \quad\Longrightarrow\quad 4a+1=-1.
Resolvendo:
4a=-2 \quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{1}{2}.

Resposta

a=-\dfrac{1}{2}
b=1

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