(1 pt). Determine constantes a e b para que a funçāo
g(x)= \begin{cases}x^{3}, & \text { se } x \leq 1, \\\ a x^{2}+b, & \text { se } x>1\end{cases}seja derivável em R.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
g(x)= \begin{cases}x^{3}, & \text{se } x \leq 1, \\\ a x^{2}+b, & \text{se } x>1,\end{cases}
e pede: determinar as constantes \,a e \,b para que g seja derivável em \mathbb{R}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A única possível descontinuidade ou problema de diferenciabilidade ocorre no ponto \,x=1, porque em outros pontos cada ramo é uma função polinomial (que é derivável em todo lugar).
  • Os ramos são: à esquerda de \,1 temos g(x)=x^{3}; à direita de \,1 temos g(x)=a x^{2}+b.
  • Objetivo prático: encontrar a e b que garantam diferenciabilidade em \,x=1 (e, portanto, em toda \mathbb{R}).

Passo 2

Condição necessária: para que g seja derivável em \,x=1 é preciso primeiro que g seja contínua em \,x=1.
Breve explicação (didática) do porquê: derivabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto. Intuição: a derivada é o limite do quociente incremental
\lim_{h\to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h},
e se esse limite existe, então em particular g(1+h)\to g(1) quando h\to0, isto é, g é contínua em 1.
Aplicando a continuidade em x=1: o valor do ramo à esquerda em 1 deve ser igual ao valor do ramo à direita em 1. Calculando:
  • Valor à esquerda (pegado da definição do ramo): g(1^-)=1^{3}=1.
  • Valor à direita (pegado da definição do ramo): g(1^+)=a\cdot 1^{2}+b=a+b.
Igualando para continuidade:
a+b=1.

Passo 3

Agora exigimos igualdade dos derivados laterais em x=1 (condição para diferenciabilidade).
Explicação didática: uma função é derivável em um ponto se o limite do quociente incremental existir. Para função por partes com mudança de expressão em um ponto, isso equivale a pedir que as derivadas laterais (derivada vindo da esquerda e derivada vindo da direita) existam e sejam iguais.
Calcule a derivada do ramo esquerdo (peguei a expressão do ramo esquerdo do enunciado): para x\le 1, g(x)=x^{3}. A derivada dessa função é, pela regra de potência, g'(x)=3x^{2}. Logo a derivada lateral pela esquerda em 1 é
g'_-(1)=3\cdot 1^{2}=3.

Passo 4

Calcule a derivada do ramo direito (peguei a expressão do ramo direito do enunciado): para x>1, g(x)=a x^{2}+b. Aplicando a regra de potência e a linearidade da derivada obtemos g'(x)=2a x. Assim a derivada lateral pela direita em 1 é
g'_+(1)=2a\cdot 1=2a.
Para diferenciabilidade em x=1 precisamos de g'_-(1)=g'_+(1). Portanto:
3=2a.

Passo 5

Resolva a equação para a: dividir ambos os lados por 2:
a=\frac{3}{2}.
Agora substitua esse valor de a na condição de continuidade a+b=1 (da Passo 2) para achar b:
\frac{3}{2}+b=1.
Isolando b:
b=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (didática e para dar confiança): com a=\tfrac{3}{2} e b=-\tfrac{1}{2},
  • o valor à direita em 1 é a+b=\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}=1, igual ao ramo esquerdo;
  • a derivada à direita em 1 é 2a=2\cdot\tfrac{3}{2}=3, igual à derivada à esquerda 3.
    Portanto g é contínua e possui derivadas laterais iguais em 1, logo é derivável em \mathbb{R}.

Resposta

a=\dfrac{3}{2}
b=-\dfrac{1}{2}

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