(1 pt). Determine constantes
e
para que a funçāo
seja derivável em R.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede: determinar as constantes
e
para que
seja derivável em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A única possível descontinuidade ou problema de diferenciabilidade ocorre no ponto
, porque em outros pontos cada ramo é uma função polinomial (que é derivável em todo lugar). - Os ramos são: à esquerda de
temos ; à direita de temos . - Objetivo prático: encontrar
e que garantam diferenciabilidade em (e, portanto, em toda ).
Passo 2
Condição necessária: para que
seja derivável em
é preciso primeiro que
seja contínua em
.
Breve explicação (didática) do porquê: derivabilidade em um ponto implica continuidade nesse ponto. Intuição: a derivada é o limite do quociente incremental
e se esse limite existe, então em particular
quando
, isto é,
é contínua em
.
Aplicando a continuidade em
: o valor do ramo à esquerda em
deve ser igual ao valor do ramo à direita em
. Calculando:
- Valor à esquerda (pegado da definição do ramo):
. - Valor à direita (pegado da definição do ramo):
.
Igualando para continuidade:
Passo 3
Agora exigimos igualdade dos derivados laterais em
(condição para diferenciabilidade).
Explicação didática: uma função é derivável em um ponto se o limite do quociente incremental existir. Para função por partes com mudança de expressão em um ponto, isso equivale a pedir que as derivadas laterais (derivada vindo da esquerda e derivada vindo da direita) existam e sejam iguais.
Calcule a derivada do ramo esquerdo (peguei a expressão do ramo esquerdo do enunciado): para
,
. A derivada dessa função é, pela regra de potência,
. Logo a derivada lateral pela esquerda em
é
Passo 4
Calcule a derivada do ramo direito (peguei a expressão do ramo direito do enunciado): para
,
. Aplicando a regra de potência e a linearidade da derivada obtemos
. Assim a derivada lateral pela direita em
é
Para diferenciabilidade em
precisamos de
. Portanto:
Passo 5
Resolva a equação para
: dividir ambos os lados por
:
Agora substitua esse valor de
na condição de continuidade
(da Passo 2) para achar
:
Isolando
:
Passo 6
Verificação rápida (didática e para dar confiança): com
e
,
- o valor à direita em
é , igual ao ramo esquerdo; - a derivada à direita em
é , igual à derivada à esquerda .
Portantoé contínua e possui derivadas laterais iguais em , logo é derivável em .