Determine para quais valores das constantes \mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}\) a função \(f\) definida em cada item abaixo é contínua. \(f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}}, & \text { se } x \neq 5 \\\ \mathbf{b}, & \text { se } x=5\end{cases}

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}}, & \text{se } x\neq 5,\\[6pt] \mathbf{b}, & \text{se } x=5, \end{cases}
com as constantes \mathbf{a},\mathbf{b}\in\mathbb{R}. O que se pede: determinar para quais valores de \mathbf{a} e \mathbf{b} a função f é contínua.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão com raízes exige que os radicandos sejam não negativos; portanto os valores de x para os quais a parte com raízes está definida satisfazem x\ge 0.
  • Em x=5 a função é definida por f(5)=\mathbf{b}.
  • A constante \mathbf{a} aparece no enunciado como parâmetro, mas não aparece explicitamente na definição dada de f.]

Passo 2

Analisar a continuidade em pontos x\neq 5 que pertencem ao domínio. Ideia-chave (sem formalismos pesados): uma função construída por operações elementares (como soma, produto, raiz quadrada) é contínua onde está definida, e uma fração é contínua onde o denominador é diferente de zero. Vamos verificar estes pontos com calma e passo a passo.
  1. Para x\ge 0 e x\neq 5, as funções x\mapsto\sqrt{x} e x\mapsto\sqrt{x+5} são contínuas (raiz quadrada é contínua em seu domínio).
  2. A diferença \sqrt{x+5}-\sqrt{10} é contínua em x. Devemos garantir que o denominador não seja zero quando usamos a expressão para x\neq 5. Resolver \sqrt{x+5}-\sqrt{10}=0 \sqrt{x+5}=\sqrt{10}\Rightarrow x+5=10\Rightarrow x=5. Logo, para todo x\ge 0 com x\neq 5, o denominador é diferente de zero.
  3. Conclusão deste passo: a expressão \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}} define uma função contínua em todo ponto x\ge 0 com x\neq 5. Portanto, possíveis descontinuidades só podem ocorrer em x=5.

Passo 3

Condição de continuidade em x=5. Por definição, f é contínua em x=5 se, e somente se,
\lim_{x\to 5} f(x)=f(5).
Aqui f(5)=\mathbf{b}. Assim precisamos calcular
L=\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}}
e exigir que \mathbf{b}=L. Vamos calcular esse limite com cuidado.

Passo 4

Cálculo do limite \displaystyle L=\lim_{x\to 5}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}}.
  1. Observação: ao substituir x=5 na expressão obtemos a forma \dfrac{0}{0}, então é preciso manipular algebricamente. Uma técnica útil é racionalizar (usar conjugados) e fatorações do tipo A^2-B^2=(A-B)(A+B).
  2. Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{x}+\sqrt{5} (o conjugado do numerador), obtemos:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}-\sqrt{10}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{5})(\sqrt{x}+\sqrt{5})}{(\sqrt{x+5}-\sqrt{10})(\sqrt{x}+\sqrt{5})} = \frac{x-5}{(\sqrt{x+5}-\sqrt{10})(\sqrt{x}+\sqrt{5})}.
  1. Agora escrever x-5 de forma que apareça o fator \sqrt{x+5}-\sqrt{10}. Note que
x-5=(x+5)-10=(\sqrt{x+5})^{2}-(\sqrt{10})^{2}=(\sqrt{x+5}-\sqrt{10})(\sqrt{x+5}+\sqrt{10}).
Substituindo na expressão:
\frac{x-5}{(\sqrt{x+5}-\sqrt{10})(\sqrt{x}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{x+5}-\sqrt{10})(\sqrt{x+5}+\sqrt{10})}{(\sqrt{x+5}-\sqrt{10})(\sqrt{x}+\sqrt{5})}.
  1. Como estamos considerando x próximo de 5 mas com x\neq 5, podemos cancelar o fator \sqrt{x+5}-\sqrt{10}, obtendo a forma simplificada:
\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{10}}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}.
  1. Agora podemos avaliar o limite substituindo x\to 5 diretamente (agora a expressão é contínua em x=5):
L=\frac{\sqrt{5+5}+\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}.
  1. Simplificando \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{10}{5}}=\sqrt{2}. Portanto
L=\sqrt{2}.

Passo 5

Condição final para continuidade em x=5: é necessário e suficiente que f(5)=\mathbf{b}=L. Assim exigimos
\mathbf{b}=\sqrt{2}.
Sobre \mathbf{a}: como a constante \mathbf{a} não aparece na definição de f que foi fornecida, não há nenhuma restrição imposta por continuidade — isto é, \mathbf{a} pode ser qualquer número real.

Resposta

\mathbf{a} pode ser qualquer número real (qualquer \mathbf{a}\in\mathbb{R}).
\mathbf{b}=\sqrt{2}.

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